Re: [解題] 高一數學 多項式：一元高次方程式

[LeonYo (空殼子)]

簡化題目：f(x)為n次有理係數多項式
          g(x)為m次有理係數多項式，且m>n>0

(A) f(x)=0有n個解 (○代數基本定理)

(B) [f(x)]^2=0有2n個解 (○deg[f(x)]^2=2n代數基本定理)

(C) B選項比A選項多n個根，多出的根必為A選項中的共軛根 (╳)

    [f(x)]^2=0 => f(x)=0 多出來的根全都是原來的根
    原來的根若為實有理根，多出來的根可視為原來的根的共軛根
    原來的根若為實無理根，多出來的根並非原來的根的共軛無理根
    原來的根若為虛根，多出來的根並非原來的根的共軛虛根

(D) f(x)=g(x)有m個解 (○)

    f(x)-g(x)=0  deg[f(x)-g(x)]=m 所以有m個解 代數基本定理

(E) [f(x)]^2=[g(x)]^2有2m個解 (○)

    [f(x)]^2-[g(x)]^2=0 deg{[f(x)]^2-[g(x)]^2}=2m 所以有2m個解 代數基本定理

(F) E選項比D選項多出m個根，多出的m個根必為D選項之根的共軛根

    [f(x)]^2-[g(x)]^2=0 => [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)]=0
    => f(x)-g(x)=0(即D選項的根)或f(x)+g(x)=0
    多出來的m個根是f(x)+g(x)=0的根
    和f(x)-g(x)=0的m個根無必然關係

    令α為f(x)-g(x)=0的一根，且α、β共軛
    f(α)-g(α)=0，但f(α)、g(α)未必為0
    即α未必為f(x)=0及g(x)=0之解
    從而β未必為f(x)=0及g(x)=0之解
    故f(β)、g(β)未必為0
    所以f(β)+g(β)未必為0
    故α之共軛虛數或共軛無理數β未必為f(x)+g(x)=0之根
    即f(x)-g(x)=0與f(x)+g(x)=0兩方程式之根無必然共軛關係


代了很多數字進去都對？代了什麼數字？

重點是先認知什麼叫共軛，為什麼會發生共軛
再認知共軛數間有什麼性質，實有理數的共軛如何
實無理數共軛又如何，虛數共軛又如何

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◆ From: 61.229.147.95
→ LeonYo:其中c選項有爭議，看是要跟誰比
→ LeonYo:A選項中的實無理根、虛根本來就會共軛
→ LeonYo:B選項若是多出來的和自己比當然就不共軛
→ LeonYo:若和本來就存在的自己的共軛根比也可說是全都是共軛根
→ LeonYo:所以我還是改變一下見解，C選○好了
推 FATTY2108:先感恩
推 FATTY2108:真的很謝謝您  感恩   我先睡了 今天早上再研讀說