[問題] 有關雙曲線

[liar1478 (LIAR)]

這是昨天晚上學生打來問我的對話內容...

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學: 從雙曲線 (x/a)平 - (y/b)平 =1 上一點P作到兩漸近線的平行線

    那這兩條平行線跟兩條漸近線圍成的四邊形面積定值怎算?

我: ab/2  證明我下次上課給你

學: 不是吧!! 我們老師教 (a平 x b平) / (a平 + b平) 耶~

                        (之後若有提到這個定值 則以 K 代替)

我: (驚! 難道我錯了3.4年?!)  你說這是老師教的? 那他有證明嗎?

學: 沒有.. 所以我才想問你怎麼來的

我: 我印象中 你老師給的那叫做"P點到兩漸近線的距離乘積"

學: 有差喔 距離乘積就是面積阿

我: (驚! 對喔...) 我明天晚上給你個滿意的答覆

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我錯了嗎?! 難道liar1478錯了嗎?!

後來我利用早上通識課(好孩子不要學)稍微想了一下

我很確定 "P點到兩漸近線的距離乘積" 是 K 阿!!

我有證明出來而且證明的還蠻快樂的 並不困難

那為什麼我印象中有 ab/2 這種東西?? 阿那個老師還說我錯....

經過一堂課的思考 我發現 "兩條平行線跟兩條漸近線圍成的四邊形"

並不一定是矩形喔!! 頂多他就是一個平行四邊形罷了 所以不能用兩邊乘積算!

那問題來了 我回來以後開始google跟爬版

啞護姿勢佳有人問一樣的問題 被選為最佳解答的居然是 K 耶

我爬版(本版) 有人問一樣的問題 回覆的人答案也給 K 耶

所以我迷惘了 目前唯一的辦法就是證明出  ab/2 這個東西來

但是我還是做到了(通識課很長嘛...) 我作法求出四個點再用行列式計算

答案真的是 ab/2  可是算的我滿頭大汗

所以我的目的是....

        (1) 我算對了嗎?? 若有錯誤請指正我

        (2) 有更好的證明方法嗎? 我的方法教學生他會起肖

        (3) 如果我是對的 那就當作提醒大家這兩者是不一樣的~

謝謝!!

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◆ From: 140.114.208.86
推 eyun:雙曲上一點到兩漸近線距離的積  是(a^2b^2)/(a^2+b^2)
→ eyun:可以用參數式證 設 P(asecθ,btanθ)
→ eyun:如果是圍成的四邊形面積   則是ab/2
→ eyun:證法用行列式  不過可以只取3個點  面積再乘以2
→ eyun:距離的積圖形是矩形   圍成的四邊形為平行四邊形
→ liar1478:謝謝!!!這個真的比較簡短