[解題] AMC數學科題目

[grope (連不上的PTT...@@)]

1.年級：國中三年級
2.科目：數學科
3.章節：
4.題目：一個正整數等於其四個最小正因數平方和。
        問可以整除該正整數的最大質數為何??
5.想法：
這題的答案是13
這是澳洲數學AMC的題目
然後我的第一個想法是把它用數學式表示出來
最小四個正因數一定有1
所以設另外三個因數分別是a,b,c 還有原數叫做x
所以數學式就可以表示成a^2+b^2+c^2+1=x

移項之後變成a^2+b^2+c^2=x-1
接下來原本想要用乘法公式來解
可是想不到有什麼相關的公式
好像只能用慢慢湊的

請大家幫忙一下.....謝謝

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◆ From: 163.21.55.10
※ 編輯: grope           來自: 163.21.55.10         (03/16 10:09)
推 Lwms:n = 130
推 catmoon:觀察一下 若abc皆為奇數 則x必為偶數若x為偶數必有2的因數
→ catmoon:故可得c=2 又c=2可得ab必為一奇一偶 所以a為偶數 b為奇數
→ catmoon:則可得a=bc 則原式可寫成x=(b^2)(c^2)+b^2+c^2+1
→ catmoon:=(b^2+1)(c^2+1)=5(b^2+1) 又b|x 所以b=5 代回得x=130
→ catmoon:有錯請指正^^
推 mazarine0518:我有點不理解...您不是設abc皆奇數才得X偶數嗎?那為
→ mazarine0518:何c又等於2？這樣不是矛盾?
推 catmoon:設abc皆為奇數  可得x為偶數(矛盾~x為偶數必含有正因數2)
→ catmoon:所以abc不全為奇數  如此可知c等於2(設a>b>c)
→ endlesschaos:a =/= bc的一個可能為a或b為c^2=4 則a=7或b=3(另一個
→ endlesschaos:為4) 但由此得出答案為30或70皆非4的倍數  因此130為
→ endlesschaos:唯一解