推 LovePhobia:真完整,我念線代都沒想的那麼快.. 04/10 13:35
※ 引述《plkoij (@@)》之銘言：
: 設A,B為方陣
: 若 AB = I ， 則 BA = I
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: 不知道該怎麼跟高中生解釋這個，
: 只記得當初在準備研究所考試的時候，
: 線性代數中有提到~
: 大家的看法如何呢？
首先，有版友提到從 AB = I 推得 B = A^(-1) 去推論，這個結果當然正確。
但是版友沒有將其中的理由說清楚，因為所謂 A, B 互為反矩陣的定義是：
給定 n 階矩陣 A，若能找到 n 階矩陣 B 滿足 AB = I 且 BA = I
我們才能說 A 可逆，且 A 的反矩陣是 B，並將 B 記作 A^(-1)。
也就是說，在你寫下 A = B^(-1) 前，你必須先保證 AB = I 且 BA = I
因為「BA = I」 就是要驗證的事情，故不能直接得到 B = A^(-1)。
============= 欲說明上述概念，我們先作一些回顧 =========================
高中課本有提到一個重要概念： n 階複數方陣 A 可逆 <=> det(A) 不是 0
可以從直接運算驗證任二個二階 (或三階) 複數方陣 A, B 都滿足
det(AB) = det(A) det(B)
註：上述性質對一般的 n 階複數方陣皆成立，但高中僅討論 n = 2, 3 就足夠
建立以上觀念後，因為 AB = I，所以 det(I) = det(AB)
=> 1 = det(A) det(B)
=> det(A) 不是 0
=> A 可逆
所以 A^(-1) 存在，故將 AB = I 兩邊左乘 A^(-1) 可得到 B = A^(-1)
=> BA = A^(-1)A = I.
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※ 編輯: armopen 來自: 163.19.108.133 (04/10 12:38)