作者Keelungman (:3)
看板tutor
標題Re: 跟我國小生解釋力矩時出了問題
時間Tue May 19 13:57:50 2009
介紹一個古希臘風格的証明
可以解釋為什麼(第一類)槓桿兩端力矩=力╳力臂相等的時候可以達到平衡
只需要三個定性的前提, 完全不需要引入能量或質量等其他條件
在這裡, 槓桿上除支點外, 力都是向下, 平衡槓桿位於水平狀態
這個證明有三大前提:
1.對稱平衡: 如果槓桿兩端, 施力大小與位置完全一致時, 槓桿可達成平衡
以下三種狀況, 其中⊙是支點轉軸位置, 白色線段是槓桿, 紅色箭頭是力
(a) (b) (c)
⊙ ⊙ ⊙
┬──┴──┬ ┬─┬──┴──┬─┬ ┬─┬─┴──┬
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
根據對稱平衡前提, 則可保證 (a) (b) 為平衡狀態
而 (c) 中因為槓桿兩邊不對稱, 則不能保證平衡
2.聚合原則: 如果槓桿達到平衡, 則支點上的總受力等於槓桿上各施力總和
比方說 (a) 槓桿兩端各有施力 F, 達成平衡時支點上的力 2F
而 (b) 槓桿兩端各有施力 2F, 達成平衡時支點上的力 4F
(a)
↑2F (b)
↑4F
⊙ ⊙
┬──┴──┬ ┬─┬──┴──┬─┬
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
F F F F F F
3.替換原則: 一個槓桿上, 若某些施力的分布可以滿足槓桿平衡條件
這些施力分布, 可以全等替換為掛在原本槓桿上的另一組平衡槓桿, 而整體平衡不變
這個要看圖比較清楚
在下面的 (a) 中, 左邊兩個力可以經此原則替換成一個附掛的新槓桿
(a)
⊙ ⊙
┬─┬──┴──┬─┬ => ─┬───┴──┬─┬
↓ ↓ ↓ ↓ ⊙ 2F
↓ ↓
F F F F ┬┴┬ F F
↓ ↓
F F
而這種替換是可以跨過原本的支點的, 如 (b) 中被替換過後還是平衡的
(b)
⊙ ⊙
┬─┬───┴───┬─┬ => ──┬──┬┴─────┬
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ │
↓
F F F F F ⊙ 2F F
┬────┴────┬
↓ ↓
F F
現在我們要用這些原則去證明兩端力矩=力╳力臂相等的時候可以達到平衡
考量以下的槓桿, 總長度是 (2*(M+N)-1)*L, M 與 N 可為任意正整數
(下圖中 M=3, N=2)
令支點在原點上, 槓桿上面平均分布著 2*(M+N) 個 F 力
根據前提 1, 這樣會是平衡的
⊙
┬─┬─┬─┬─┬┴┬─┬─┬─┬─┬
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
利用前提 3, 則槓桿上的作用力, 可以替換為下面的樣子:
x ⊙ y
─────┬───┴─────┬───
│ │
⊙ ⊙
┬─┬─┬┴┬─┬─┬ ┬─┬┴┬─┬
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
替換過後, 附掛位置 x=-N*L, y=M*L
-N*L ⊙ M*L
x ┬───┴─────┬ y
↓ ↓
2*M*F 2*N*F
由前提 2, 由附掛位置 x, y 傳遞過來的力各為 2*M*F 與 2*N*F
因此可以知道, 在兩端力矩=力╳力臂相等之下, 槓桿可以達到平衡
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在達文西過世四個月後，麥哲倫展開了人類歷史上的首次環球航行。
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◆ From: 155.69.204.248
推 Uranes:有趣! 05/19 14:35
→ Keelungman:再看一次, 第二個聚合原則其實不算是定性的... :P 05/19 14:42
→ lbu:原作者問題沒那麼複雜...... 05/19 22:05
→ Keelungman:其實這篇只是借題發揮 :P 說明力矩定義怎麼來的 05/19 22:35
→ Keelungman:我發現有許多小朋友對於力矩正比於力臂這點有疑慮 05/19 22:36
→ Keelungman:原po的那位同學其實也是有類似的疑慮 05/19 22:37