Re: [解題] 高一數學-解方程式

[crazymars (什麼時候才有日出)]

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: ◆ From: 220.140.16.168
: 推 crazymars:有理係數方程式無理根成對 不夠精確                     05/28 11
: → crazymars:不用那麼複雜 x^3 -2 = 0 就沒有有理根了                05/28 11
: → crazymars:你可以再想想 是怎樣的有理根才會成對^_^                05/28 11
恩  這邊是我打錯字  我要說的是

你可以再想想 是怎樣的"無"理根才會成對
: 推 devil115789:樓上不知道在說什麼 有理係數方程式無理根成對         05/28 13
: 推 crazymars:我打錯字了 不是所有的無理根都有成對的性質             05/28 13
: → devil115789:所以你的第二行是在??                                05/28 13
: → devil115789:畫圖來看 1和2之間會有3個根或是2個根(含一重根)       05/28 13
如果x^3-2=0 1和2之間有二重根以上我隨便你XD

大家都知道 x^3 - 1 = 0 有三個根 1,ω,ω^2 其中ω=(-1+√3 i)/2

所以很容易的可以知道

x^3 - 2  = 0 的三個根 分別是 (2)^{1/3} , (2)^{1/3} * ω , (2)^{1/3} * ω^2

如果哪隻眼睛看得到重根的話@@ 我可以推薦你不錯的眼科XD

不過回歸正題

其實不只原PO很多人都一直誤會說 有理係數多項式無理根會成對

其實這句話就有一個東西的定義有問題了

無理根成對是什麼 當然在代數上有他定義的conjugate(共軛)

但是這不是很重要 如果隨便寫一個無理根都會成對 那請問 1 + (2)^{2/3}

和他成對的是誰 絕對不是我們可能會猜想的 1 - (2)^{2/3}

而實際是什麼 我想不是很重要所以我們不在這邊討論

其實"成對"是為了讓高中生不要學那麼多帶是出現的名詞

如果你注意看很多參考書 有些嚴謹的書會近量避免出現這兩個字

事實上 只有 有理係數多項式底下 a+b√c , a-b√c 這兩個根才會成對出現

其中√c是無理數

所以修正原PO問的話

我們可以得到下面結論

實係數多項式中 , 虛根會共軛出現

有理係數多項式中 , a+b√c , a-b√c此類型無理根會成對出現

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另外推文的 d大 也給了我很好的建議

但是我想說的是

我知道 若 f(x)是一個連續函數 若f(a)f(b)<0 則a和b中間 有奇數個實根

  另外 根據代數基本定理 f(x)=x^3-2 有三個複數根

但是這世界不是這麼單存 不是一定只有實根可以用

代數基本定理告訴我那是"複數"根 不一定是"實"根

你的判斷是對實根用的

實際上這題另外兩個是虛根 , 所以我只能對你的判斷說抱歉了

那應該不是正確的

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◆ From: 114.43.205.10
※ 編輯: crazymars       來自: 114.43.205.10        (05/28 16:07)
→ endlesschaos:所以crazymars大原本要人想想的問題：「怎樣的方程式
→ endlesschaos:無理根才會成對」的答案是？
推 Nimrodel:不是都回答了嗎? 這篇不錯:)
→ endlesschaos:那我可以請問一下  x^3-6x^2+18x-18=0這式子當中哪一
→ endlesschaos:個係數是無理係數？
我不想跟您多說了  我用Maple解出來了

-2^(2/3)+2^(1/3)+2,
1/2*2^(2/3)-1/2*2^(1/3)+2+1/2*I*3^(1/2)*(-2^(2/3)-2^(1/3)),
1/2*2^(2/3)-1/2*2^(1/3)+2-1/2*I*3^(1/2)*(-2^(2/3)-2^(1/3))

剩下你自己判斷@@
推 Nimrodel:挑明您要說什麼吧? 多字的話建議po一篇...
※ 編輯: crazymars       來自: 114.43.205.10        (05/28 16:30)
→ endlesschaos:我要說的就是x^3-6x^2+18x-18=0這個式子也是有理係數
→ endlesschaos:方程式  但是無理根卻不成對  表示回答「有理係數方
→ endlesschaos:程式無理根必成對」這個答案有問題啊...
推 Nimrodel:所以你認為他會有無理根成對????????
→ crazymars:搞半天誤會一場  我有說這句話沒問題嗎@@
→ endlesschaos:而且我似乎是第一次問您問題  這個熊庹還真不錯...
→ Nimrodel:你沒說錯阿...我看到的c大也是這樣說的阿...有衝突?
→ crazymars:而且我問的是 "怎樣的無理根才會成對"吧
→ endlesschaos:crazymars:所以修正原PO問的話 我們可以得到下面結論
→ endlesschaos:實係數多項式中 , 虛根會共軛出現  有理係數多項式中
→ endlesschaos:, a+b√c , a-b√c此類型無理根會成對出現
→ crazymars:嗯嗯嗯  我懂了  不過這句話的意思我也許說不是很好
→ crazymars:但是我的意思是說 如果a+b√c是根 a-b√c也是
→ crazymars:如果這句話有問題  歡迎舉個反例讓我知道@@
推 Nimrodel:那我懂c大的敘述錯誤問題了, 應該是若存在a+b√c,
→ Nimrodel:則a+b√c與a-b√c會成對出現
→ crazymars:而上述的方程式 是沒有a+b√c類型的根
→ crazymars:對不起  我偷懶XD  讓大家誤會了
→ crazymars:我也對endlesschaos解釋一下  我剛剛修文說的 我會錯意
→ Nimrodel:所以c大本來是要修正有理係數必存在成對的無理根, 但卻在
→ crazymars:所以不好意思了
→ Nimrodel:敘述過程中, 卻也犯了同樣的問題..
→ endlesschaos:N大 其實我不太懂你想表達什麼 你不也看不懂我問的是
→ endlesschaos:什麼  然後在沒回答的狀態下持續的反問我嗎？
推 Nimrodel:的確, 就所得的資訊是如此, 所以才會說不妨說出來
→ Nimrodel:而等到你清楚說出來後, 就了然了, 省卻了不必要的問題