[解題] 國一數學 不等式

[shuen1217 (Hamartia)]

1.年級：國一
2.科目：數學
3.章節：第五章不等式
4.題目：

銳角三角形ABC，若角A >= 角B >= 角C >= 1/2角A    (>=是大於或等於@@)
求角A範圍?

5.想法：
(以下省略"角"字...跟"度"...)

A+B+C=180
A=180-B-C

1/2A <= B <= A
1/2A <= C <= A

1/2(180-B-C) <= B <= 180-B-C
1/2(180-B-C) <= C <= 180-B-C

整理右邊可以得到
2B+C<=180
2C+B<=180

相加
3B+3C<=360
B+C<=120

A+B+C<=120+A
180<=120+A
A>=60

我得到A的下限

但是用一樣的方法整理左邊
180-B-C <= 2B
180 <= 3B+C

360<=4B+4C
B+C<=90

只會得到A<=90
(呃A不會等於90因為A是銳角 所以我解出來應該是60<=A<90
但是A=88時可以找到反例 88, 60, 32)


答案是60<=A<=72
<我不太記得右邊是小於還是小於等於@@不過數字是對的>

麻煩高手解答@@
謝謝


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◆ From: 118.165.9.197
推 neoBlaze:我覺得答案應該是 60 <= A < 90
→ neoBlaze:(A,B,C)=(88,46,46) 可以符合最初的不等式 又此三角型為
→ neoBlaze:銳角三角形 所以A不等於90度
推 liar1478:同意樓上
→ liar1478:其實考慮A+B+C<=A+A+A -> 60<=A
→ liar1478:A+B+C>=A+A/2+A/2 -> A<=90 又 A不等於90 這樣比較簡單~
→ shuen1217:可是A是86時有可能是(86,60,34) 這樣就不行了@@
※ 編輯: shuen1217       來自: 118.165.17.223       (06/11 23:03)
→ neoBlaze:(86,47,47)就可以囉~
我的意思是說，如果說60<=A<90 卻可以在A=88度時找出反例，不就表示這不會是解嗎
※ 編輯: shuen1217       來自: 118.165.17.223       (06/11 23:10)
→ liar1478:我又變成支持原po了＝＝...
※ 編輯: shuen1217       來自: 118.165.17.223       (06/11 23:19)
推 liar1478:是小於等於 因為我用線性規劃拼出來了..可是國中的話..
推 neoBlaze:嗯 有道理 我再想想~
→ liar1478:請問國中有教算幾不等式嘛?
→ shuen1217:沒有 解出來的話我會講一下@@ 然後跟她說超出範圍...
推 neoBlaze:想到一個硬湊的解法 如果把角度用2:2:1來分
→ neoBlaze:最小角 一定會大於等於最大角的一半
→ neoBlaze:所以 180*(2/5) = 72
→ liar1478:是阿..我也一直想如果題目規定是等腰三角形就好了
→ liar1478:也不對..有不是等腰三角形的解ㄟ..
我朋友幫我想的:


它已經求出兩個邊界60<=A<=90，

因為A>B>C，所以B跟C也是<90

A+B+C=180   0.5(A+B+C)=90

從 B >= 0.5A = 90-0.5B-0.5C 這條式子

可得 1.5B+0.5C >= 90    3B+C >= 180

從 A >= B 可得 180-B-C >= B  推得 2B+C =< 180

整理  3B+C >= 180 >= 2B+C   (1)

利用(1)的前半，代入C =< 90 ，得 3B >= 90 ，推得 B >= 30 同理 C >= 30

利用(1)的後半，代入C >= 30 ，得 150 >= 2B ，推得 B =< 75 同理 C =< 75

利用(1)的前半，代入C =< 75 ，得 3B >=105 ，推得 B >= 35 同理 C >= 35

利用(1)的後半，代入C >= 35 ，得 145 >= 2B ，推得 B =< 72.5 同理 C =< 72.5

...

逼近於  72>=B>=36

於是A也小於等於72

※ 編輯: shuen1217       來自: 118.165.17.223       (06/11 23:59)