[解題] 高二 數學 排列組合 + 機率

[andygenisu (冰炫風)]

1.年級：高二

2.科目：數學

3.章節：排列組合 + 機率

4.題目：

共有四題 ^^


  (1)  將 1 ~ 10 共十個數字，填入一 2 X 5 的長方形格子裡，如下圖

                         □□□□□
                         □□□□□

       填入規則為：填入數字絕對不可以比右邊一個及上面一個大，其餘不限制。

                   (就是可以 4 5 6 9 10 這樣)
                             1 2 3 7 8

       求填入數字的組合數。



  (2)  若變成一 m × n 的長方格，填入共mn個數字，請問共有幾種組合數？

                            ╭ 共 n 行╮

                        □□□‧‧‧‧‧□□  ╮
                        ‧                ‧
                        ‧                ‧ 共 m 列
                        ‧                ‧
                        □□□‧‧‧‧‧□□  ╯


  (3)  現有 n 封信準備寄往 n 個不同的地方，因此有 n 個信封袋。若隨意將信放入信

       封袋，一封信放入一信封袋。求裝對信封袋的信件數期望值。


  (4)  有一長方形路段，縱線八條、橫線五條，如下圖。

                         ┌┬┬┬┬┬┬┐
                         ├┼┼┼┼┼┼┤
                         ├┼┼┼┼┼┼┤
                         ├┼┼┼┼┼┼┤
                         └┴┴┴┴┴┴┘

       求從左下角走到右上角且將面積分為兩半的捷徑(只能往右或往上走)走法數。


5.想法：

 (1),(2): (建中的小考題目@@...)

       1 和 10 這兩個數字，由題意得知只能分別擺在左下跟右上角，然後對其他數字

       於不同的情況討論、整理，本來覺得滿好進行的，結果事實不然@@

       至於第二小題就真的必須找出通解了...@@.....


 (3) 題原本的題目本來不是這樣，是關於七對夫婦的題目，然後問座位分在一起的期望

     對數，題目的答案是 1，可以經由期望值的計算方式算出來。

     我試了幾個不同的數字，如五對夫婦、六對夫婦、乃至八對夫婦，答案都是 1，

     而「1」這個答案也看似很合理，(阿大家亂放亂放期望就是只有一個會對呀)

     不過我卻不知道該如何用數學式子或是更好的闡述方式解釋這個結果。

     (有點像是300顆球裡有150顆紅球，取後不放回，取 100 次得到紅球數的期望值，

      等於先取一次算期望值，然後再直接乘 100 就是答案的這種模式。

      但由於我硬把式子列出來之後卻無法整理出漂亮的答案，因此我自己都說服不了

      自己了，更何況是問我的學弟...)

  (4) 我想到的方式是橫斷面分別設 a , b , c , d 四個變數，代表從左到右的格子數，

      且 a + b + c + d = 14  (面積為 28 的一半)

      圖示比較好懂，如下圖：

                   a = 6  □□□□□□□
                   b = 3  □□□□□□□
                   c = 3  □□□□□□□
                   d = 2  □□□□□□□

      紅色框框的邊緣即為捷徑走法。

      如此一來即依下列式子求出答案：

              a + b + c + d = 14

              0 ≦ d ≦ c ≦ b ≦ a ≦ 7

      但是這樣也得一個一個分組討論.....

      想請問有無任何更快速的算法??


      感謝版上各位強者了!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!






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一切都是幻覺，嚇不倒我的。

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◆ From: 118.168.5.77
推 crazymars:(1)要轉換成一路領先的問題
推 ramun:1. 41?
推 ramun:第二題是 數字從1到MN嗎
→ andygenisu:對 1~ mn
推 ramun:有答案嗎
推 ramun:4. 26
推 kisc91389:1.10!/5!5!=252
→ kisc91389:1.任意一組數字,依照右邊比較大的原則,只會有一種排列
→ kisc91389:所以其實題目在問10個數分成2組有幾種分法 10!/5!5!*2!
→ kisc91389:成2!是因為有上下兩列,依此類推,有mXn個數m!/(m/n)!n次
→ kisc91389:方 像這種題目可以讓學生用2X2 3X3推出公式
→ andygenisu:第一題答案是42
推 tmtmtm:1. 定義a(n,m)代表第一列有n個方格第二列有m個方格的方法數
→ tmtmtm:所求=a(5,5)
→ tmtmtm:根據題意~可得a(n,m)=a(n-1,m)+a(n,m-1)
→ tmtmtm:先看一個特別的case,a(1,n)=a(0,n)+a(1,n-1)
→ tmtmtm:=1+a(0,n-1)+a(1,n-2)=2+a(1,n-2)=...=n
→ tmtmtm:所以a(5,5)=a(4,5)=a(3,5)+a(4,4)=a(3,5)+a(3,4)
→ tmtmtm:=a(2,5)+a(3,4)+a(3,4)=a(2,5)+2a(3,4)
→ tmtmtm:=a(1,5)+a(2,4)+2(a(2,4)+a(3,3))=5+3a(2,4)+2a(2,3)
→ tmtmtm:=5+3(a(1,4)+a(2,3))+2a(2,3)=17+5a(2,3)
→ tmtmtm:=17+5(a(1,3)+a(2,2))=32+5a(2,2)=32+5a(1,2)=42
→ tmtmtm:補充第三行~若n不等於m~a(n,m)=a(n-1,m)+a(n,m-1)
→ tmtmtm:若n=m,a(n,n)=a(n-1,n)
→ tmtmtm:@@~算好久~不知道有沒有更快的方法~希望有人能提出來^^~
→ tmtmtm:第二題又更難了@@~不知道大家有什麼想法
推 tmtmtm:當n大於等於2~a(2,n)=(n^2+n-2)/2