[教戰] 請問數學指數的一個觀念講解

[charater ((￣y▽￣)σ推廣會會長)]

課本上由指數推導過程中 教我們:

y=a^x, when x推廣到有理數時, a必須為正數才有意義


因此老師在此時常常舉一個例子:

√-3≠(-3)^1/2=(-3)^2/4=9^1/4, √-3=√3i


那麼要如何跟學生解釋:

a.(-8)^1/3是沒意義的, 但是b.(-8)開三次根號確實是等於-2

這個觀念呢?


我的想法是(-8)開三次根號 本身就不可以寫成(-8)^1/3, 這違反我們的定義

那麼在不confuse學生a觀念的前提下

接下來要怎麼推導:(-8)開三次根號確實會等於-2呢?



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◆ From: 59.112.120.142
→ shunguy:開三次方應該不會沒意義吧..這和開平方有些不同吧 ^^
→ tmtmtm:指數為有理數或無理數時,底數必須為正才有意義
→ tmtmtm:這牽扯到複變,要簡單一點說,就是定義指數函數,y=a^x
→ tmtmtm:x為任意實數,此時a為負的話,會有斷點
推 swingman:應該是說不符合指數律  而非無意義
→ swingman:所以負號 並不在指數函數的定義域中
→ swingman:第二句說錯了 XD
→ charater:喔抱歉 看來是高中的簡化說法XD
推 yaochia:(-8)^1/3 只是剛好湊巧有意義吧
→ yaochia:但是 (-8)^1/2 或是 (-8)^1/4 就必須動用複數域了
→ yaochia:因此教材裡面的 "當 x 為有理數時" 他想強調的是
→ yaochia:對於 x 是有理數時 , 整個敘述 "a^x有意義" 是否成立
→ yaochia:如股可以的話, 趁機跟學生強調如何讀數學定理的方法
→ k6416337:會規定當指數非整數時，底數不可以為負，是因為有些負數
→ k6416337:雖然可能在特定非整數指數下能表示成實數，但是大部分的
→ k6416337:非整數指數還是不能算成實數，所以就乾脆規定底數不能為
→ k6416337:負數。如果提到複變，學生程度也沒到那裡。根號i也是一樣
→ k6416337:，因為沒有複變的底子，所以就強制規定根號i無意義。
推 ww770829:感覺不太好講耶...