作者Lwms (善用時間)
看板tutor
標題Re: [解題] 數列與級數
時間Sun Sep 27 13:23:40 2009
※ 引述《Lwms (善用時間)》之銘言：
: 標題: Re: [解題] 數列與級數
: 時間: Sat Sep 26 23:25:03 2009
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: ◆ From: 140.112.30.55
: → Lwms:這是之前建中的考題，數字可能不一樣。 09/26 23:29
: → doom8199:應該有一項是 b_(n+1) , 這樣出太簡單了～～ 09/27 11:24
: → doom8199:其實這就是嚴謹性的問題，若真要嚴謹 09/27 11:24
: → doom8199:直接寫 lim(x+2)=3 when x→1 是錯的 09/27 11:25
: → doom8199:因為必須先說明 (x+2) 在x=1點連續，才能直接帶值下去算 09/27 11:26
: → doom8199:這樣變成高中學生(包刮老師)，沒有一個人都做對＝＝ 09/27 11:27
: → doom8199:但高中還是引進了極限的概念。在還沒完整介紹前 09/27 11:29
: → doom8199:也只能承認它是對的 09/27 11:30
: → doom8199:以及像是計算題遇到 1+(1/2)+(1/2)^2+.... 09/27 11:31
: → doom8199:我們就習慣性寫 1/[1-(1/2)] , 只寫這樣我也能說它錯 09/27 11:32
: → doom8199:因為沒註明收斂區間，以及說明 x=1/2 有落在收斂區間 09/27 11:32
: 推 doom8199:關鍵就在於高中強調解題，但證明完全不行... 09/27 11:35
跟你講的這些完全沒有關係。
1. 不知道某級數/數列是否收斂 → 套用收歛才能用的定理，操作
就是錯在這邊，如此而已，這是邏輯上順序的問題，跟什麼ε, δ 收斂半徑
一點關係都沒有
2. 不知道某級數/數列是否收斂 → 套用收歛才能用的定理，操作 → 解出來的值收斂
現在就倒果為因了，拿最後解出來的數值收斂，回頭解釋為何這樣的解法是對的
這樣是不對了。
我一直講一直講的原因就在，這其實是高中就會遇到，令人很困擾的問題。
絕對不是到大學才會遇到。所以也想舉出更多高中時遇到這類情況的問題，
如果您認同的話，可以不要牽扯大學的數學嗎？因為我全部都聽不太懂。
回頭檢視這些例子
_ _ _
求0.9 (未知收斂與否) → 9.9 - 0.9 = 9 (要收斂才對得) → 0.9 = 1 (收斂了)
回頭解釋 "算出來是收斂的，所以中間這樣算沒錯" 因果關係不對
所以回過頭來 為什麼 1 + 2 + 4 + 8 + ... 用幾乎跟上面差不多的方法算
算出來會很奇怪，錯的原因一樣，因為套用了 收歛才會對的定理
_
那如果還覺得 0.9 = 1 上面那個例子這樣算沒錯
那應該也覺得 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1 收斂，所以這個算法無誤
再者為何那個例子算法 1 錯？因為一開始並不知道 b_n 收斂與否
3 - 2b_n 3 - lim 2b_n
lim ----------- = ----------------
1 + bn 1 + lim b_n
這個等號就令人存疑了，因為這要收斂才能這麼用
那如果回頭算出 lim b_n = 1/4 是收斂的再回頭解釋這步沒錯，邏輯上順序也就錯了。
這些錯誤跟高等數學、大學數學都沒有關係。
毫無反應，就只是個高中數學。
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每一種動物，在交配之後都是憂鬱的。
L. Ferliinghetti
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◆ From: 140.112.30.55
→ doom8199:0.9... 這就只是無窮等比級數和，當然收斂 09/27 13:43
→ doom8199:牽扯到無窮，不用極限解釋，根本說不通 09/27 13:44
→ doom8199:你舉的例子是可以直接說明該數列收斂: 09/27 13:45
→ doom8199:(3-2b_n)/(1+b_n) = -2 + 5/(1+b_n) 09/27 13:45
→ doom8199:因為 lim(a_n)、 lim(-2) 收斂 → lim[5/(1+b_n)] 收斂 09/27 13:46
→ doom8199:→ lim[(1+b_n)] 收斂 if 1+b_n≠0 → lim[b_n] 收斂 09/27 13:47
→ doom8199:我也沒說你這樣的解釋有誤，我po的一開始不就回應同意嗎? 09/27 13:55
→ doom8199:而且我po的文章都已經說明 9.9.. - 0.9.. = 9 是對的 09/27 13:58
→ doom8199:用您所謂的"收斂"去解釋，但我實在不懂為何 09/27 13:59
→ doom8199:您一定要堅持這樣解 是錯的＝＝ 09/27 13:59
→ doom8199:若您每次解極限值前都要先解釋收斂才能套用 09/27 14:02
→ doom8199:雖然邏輯上要這樣解釋，但你要如何解釋給高中生聽? 09/27 14:02
→ doom8199:9.9.. - 0.9.. = 9 , 您要怎麼證明給"高中生"看是對的? 09/27 14:03
→ doom8199:而且真要講，您上一篇第二個解法也錯 09/27 14:04
→ doom8199:因為您根本沒說明 lim[(3-a_n)/(a_n+2)] 也會收斂 09/27 14:05
→ doom8199:若每個都這樣說明，乾脆高中別交 lim 好了 09/27 14:08
→ doom8199:有時候超出自己所知的能力，那就先假設它是對的 09/27 14:09
→ doom8199:事後解出來發現怪怪的，再回去看自己假設是不是有誤 09/27 14:10