※ 引述《tina3226 (葉子果凍)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：有理數與無理數
: 4.題目：a,b均為實數，若a+b為有理數，ab為無理數，則a-b必為無理數 對或錯?
: 5.想法：
: 題目出處給的答案是錯誤，但我的想法是
: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab => 有理數-無理數=無理數
: 所以a-b是無理數
提供另一個證法:
設a-b為有理數
因為a+b為有理數
可得2a與2b皆為有理數(兩式相加減)
亦即a與b皆為有理數
則ab亦為有理數-><-
故a-b為無理數
: 請問以上過程有錯誤嗎?
想法沒錯
但是(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=(a+b)^2-4ab => 有理數-無理數=無理數
這句的寫法有問題
左邊並不會implies右邊
寫給學生時要小心一下喔!!
: 另外有一個類似題是
: 若a,b均為實數,a-b為有理數,且ab為無理數,則a+b必為無理數
: 知識+有人提供的答案是
: 對，證明如下
: ab為無理數=>a,b不可能都是有無理數=>a,b必其中有一個數為無理數
: a-b為有理數，但a,b其中有一個數為無理數=>a,b兩個都是無理數
: 而兩個無理數相減為有理數，則這兩個無理數的有理部異號，而無理部同號，如：
: (a=2+√3，b=-2+√3，則a-b=4）
: 所以這兩個無理數相加，會等於兩倍的無理部，也就是a+b會是一個無理數。
: 所以原題目的解答究竟是??
類似題把a-b改成a+(-b)即與上題同
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