Re: [解題] 高二數學

[Intercome (今天的我小帥)]

※ 引述《pttfly (如果)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：平面向量
: 4.題目：
:         過三角形ABC重心G的直線交AB於P點, 交AC於Q點, AP=xAB, AQ=yAC,
:         求三角形APQ最大面積為三角形ABC的幾倍? 此時x=? y=?

   AG向量 = 1/3*AB向量 + 1/3*AC向量

          = (AB/3AP)*AP向量 + (AC/3AQ)*AQ向量

   因為 G-P-Q三點共線，所以 AB/AP + AC/AQ = 3

                        AB/AP + AC/AQ          AB*AC
   利用算幾不等式可得  ---------------  >  ( ---------)^0.5
                              2         =      AP*AQ

        AB*AC     1/2*AB*AC*sinA     △ABC        9
   =>  ------- = ---------------- = -------  <   ---
        AP*AQ     1/2*AP*AQ*sinA     △APQ   =    4

   當AB/AP = AC/AQ = 3/2 => x = y = 3/2 時

   有最大面積比為 4/9 倍  #

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◆ From: 122.146.64.96
※ 編輯: Intercome       來自: 122.146.64.96        (11/30 17:28)
推 wyou:題目是問△APQ是△ABC的幾倍，所以是否應該為△APQ/△ABC才對
→ wyou:但如此一來就變成最小是 4/9 倍了
→ Intercome:所以我後面是取倒數阿
→ theoculus:跟我一開始想法一樣,不過這樣算的確如一樓所說是最小值
→ theoculus:再說取倒數,不等式方向要改變.EX: 2 > 1 => 1/2 < 1/1
→ hightacps:(x+y)/2 >=√xy >= 2xy/(x+y) 2xy/(x+y) = 2/(1/x+1/y)
→ hightacps:以上不等式可由半圓明顯看出 取後面那個不等式即可解此
→ hightacps:看錯....這樣還是會變成最小值