改令(AB)=a(AP), (AC)=b(AQ)
a>=1,b>=1
(AG)=1/3*(AB)+1/3*(AC)=a/3*(AP)+b/3*(AQ)
又GPQ三點共線 a/3+b/3=1 >>> b=3-a
3-a>=1
a<=2
所以1<=a<=2
△APQ=1/2*AP*AQ*sinA=1/2*(AB/a)*(AC/b)*sinA =△ABC/ab
要求△APQ最大值 >>>求ab最小值
ab=a(3-a)=-(a-3/2)^2+9/4 且 1<=a<=2
當a=1或a=2時ab有最小值 2
所以當x=1或x=1/2時 △APQ面積有最大值1/2*△ABC
※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: ※ 引述《pttfly (如果)》之銘言：
: : 1.年級：高二
: : 2.科目：數學
: : 3.章節：平面向量
: : 4.題目：
: : 過三角形ABC重心G的直線交AB於P點, 交AC於Q點, AP=xAB, AQ=yAC,
: : 求三角形APQ最大面積為三角形ABC的幾倍? 此時x=? y=?
: AG向量 = 1/3*AB向量 + 1/3*AC向量
: = (AB/3AP)*AP向量 + (AC/3AQ)*AQ向量
: 因為 G-P-Q三點共線，所以 AB/AP + AC/AQ = 3
: AB/AP + AC/AQ AB*AC
: 利用算幾不等式可得 --------------- > ( ---------)^0.5
: 2 = AP*AQ
: AB*AC 1/2*AB*AC*sinA △ABC 9
: => ------- = ---------------- = ------- < ---
: AP*AQ 1/2*AP*AQ*sinA △APQ = 4
: 當AB/AP = AC/AQ = 3/2 => x = y = 3/2 時
: 有最大面積比為 4/9 倍 #
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