推 smtentwo:請問其中Q(x)屬於Z[x] 高中課程有教嗎??(沒別的意思) 12/08 23:43
推 dreamaster:沒有教~~~我想問一下是什麼意思~~~謝謝解答~~感恩 12/09 09:02
→ theoculus:Z[x]表由整係數多項式全體所成的集合 12/09 09:50
→ smtentwo:如果沒教過其中Q(x)會自動屬於Z[x] 答案應說明原因 12/09 11:21
※ 引述《dreamaster (把握每一刻!!)》之銘言：
: 4.題目：f(x)是整係數多項式，a.b.c屬於相異整數，且f(a)=f(b)=f(c)=2,
: 試證不存在整數d,使f(d)=3
: 5.想法:let f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+(x-a)(x-b)(x-c)r+2 (r為小於d的整數
: 將d=x帶入f(d)=0+(d-a)(d-b)(d-c)r+2
: 如果f(d)=3，則(d-a)(d-b)(d-c)r=1
: 可能狀況 1 -1 1 -1或1 1 1 1或-1 -1 -1 -1之任意排列
: 因為，a.b.c屬於相異整數,d.r為整數，所以不可能有上述情形~~矛盾
: 我想問說~這種想法是對的嗎~~~如果是的話~~解題要怎麼寫才會比較正式呢??
: 謝謝!!!
1.若deg f(x)<3 則f(x)恆等於2 故不存在整數d使f(d)=3
2.若deg f(x)>=3
設f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+2 其中Q(x)屬於Z[x]
假設存在f(d)=(d-a)(d-b)(d-c)Q(d)+2=3
=> (d-a)(d-b)(d-c)Q(d)=1
a,b,c互異 則d-a,d-b,d-c為相異之三整數
由於不存在相異三整數之積=1
故假設錯誤 得證不存在整數d,使f(d)=3
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