Re: [解題] 高二數學 空間中直線與平面

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《notracer (只是呆)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：空間中直線與平面
: 4.題目：
: 已知有三平面 E1:3x+y-z+3 = 0  E2: 2x-y-z-1= 0 E3:x-3y-z+1=0
: 若直線L垂直於xy平面，且分別與平面E1 E2 E3 交於點P1 P2 P3
: 求P1 P2 P3的z座標平方和之最小值為?
: 5.想法：
: 答案是6
: 檢驗一下發現是三面交三線的情況，只不過再來就沒什麼頭緒  冏
: 也想過把個別的z寫成個別x.y的表示式，好像意義不大
: 或是跟柯西有關係?
: 麻煩各位了><
假設L與xy平面交於(a,b,0)

則L與E1交於(a,b,3a+b+3)，與E2交於(a,b,2a-b-1)，與E3交於(a,b,a-3b+1)

所求為(3a+b+3)^2+(2a-b-1)^2+(a-3b+1)^2

想用柯西的話就要湊比例將a,b消去

亦即3a+b+3+m(2a-b-1)+n(a-3b+1)=(3+2m+n)a+(1-m-3n)b+(3-m+n)

取3+2m+n=0且1-m-3n=0得m=-2,n=1

因此[(3a+b+3)^2+(2a-b-1)^2+(a-3b+1)^2][1^2+(-2)^2+1^2] >= (6)^2

可得(3a+b+3)^2+(2a-b-1)^2+(a-3b+1)^2 >= 6

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 110.50.179.140
推 notracer:soga  謝謝你的說明