→ YoscarY:謝啦~還特地用水球跟我解釋~ 12/31 20:17
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※ 引述《YoscarY (風流帥哥)》之銘言：
: 1.年級：高三
: 2.科目：數學
: 3.章節：不等式
: 4.題目：
: x^2+2xy+y^2-2x+6y+5 = 0
: 試求x-y之最小值
: 5.想法：
: 答案是1
: 我把原式整理成 (x+y-1)^2 = -8(y+ 1/2 )
: 因此圖形是一個斜的拋物線,頂點為(3/2,-1/2)
: 然後再以x-y這條直線去靠近此拋物線
: 因為x-y和拋物線主軸x+y-1恰好垂直,所以我覺得極值可能發生在頂點
假如對稱軸是x+y-1=0 那你所求的y+1/2=0卻不與之垂直
或許我可以這樣配方
x^2+2xy+y^2-2x+6y+5 = 0
(y^2+6y+9)+2x(y+3)+x^2=8x+4
(y+3+x)^2 = 8(x+1/2) 那對稱軸真的是x+y+3=0嗎
似乎這種配方法可能只能決定是什麼圖形而已
卻沒辦法判別對稱軸 至少在拋物線似乎很不準? 也許
: 但把頂點代進x-y後得到的答案是2
: 而且我以拋物線上的某些點代入,也的確可以產生小於2的結果
: 請問一下我的想法是錯在哪裡??
: 還是我一開始的解題方向就不對了
(1)高一建議用x-y=k(k屬於R) y=k+x帶入 判別式>=0即可
(2)現在的高三可以用線性規畫的觀念看待
即只需求出方程式斜率m=1的切點即可
原式微分
2x+2(y+xy')+2yy'-2+6y'=0
=>y'=-(x+y-1)/(x+y+3) = 1
=>x+y=-1 hence, y=-1-x帶入原方程式求出切點(0,-1)
所以最小值x-y=1
(3)至於原圖形長什麼樣子?
來個座標軸的平移跟轉軸試試看
轉45度
[x] = [cos(π/4) -sin(π/4)][x']
[y] [sin(π/4) cos(π/4)][y']
=>圖形變成
2x'^2+2√2x'+4√2y'+5=0
配方
=>(x'+√2/2)^2 = -2√2(y'+√2/2)
=>轉軸後的對稱軸為x'+√2/2=0 另一個軸y'+√2/2=0
=>已知[x'] = [ cos(π/4) sin(π/4)][x]
[y'] [-sin(π/4) cos(π/4)][y]
=>將x',y'帶入對稱軸
得對稱軸x+y+1=0
另一個x-y-1=0
所以原方程式為(x+y+1)^2=4(x-y-1)
頂點在(0,-1)
你雖然預測說極值發生在頂點 可惜頂點求錯了...
如果沒算錯的話...有算錯請自行更正 感謝@@
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