※ 引述《petwing (老皮)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：雙曲線
: 4.題目：題目的細節已忘了，大致上就是題目給一個雙曲線的方程式
: 然後給一定點座標(該點在雙曲線內，就是被其中一半包在裡面)
: 求以該點為中點的弦的方程式
: 5.想法：
: 我想不出方法 然後去翻解答
: 問題是解答把雙曲線的方程式對x微分
: 然後把該點的座標代進去得一斜率
: 然後就以該斜率為所求之線方程式的斜率
: 我不懂微分跟弦中點有什麼關聯
: 麻煩知道的版友解說一下 感謝
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事實上這個題目很常見 也見於大學聯考
<64年夜甲> 過點(3,-2)做拋物線y^2=4ax的弦,試求諸弦中點的軌跡方程式
現在以一個簡單例子做說明
<ex>y^2=6x 若此弦交拋物線於A,B 且過P(5,3)
一般高中生要會 (1)若PA=PB a.此弦的方程式
b.此弦的長度
c.此弦與拋物線所交的兩點坐標
(2)若PA=2PB 此弦與拋物線所交的兩點與方程式
<sol> (1)PA=PB 即求以該點為中點的弦
設A,B兩點 (x1,y1) (x2,y2)
P(5,3) = [(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
=> x1+x2 = 10
y1+y2 = 6
a.所求即為 (y-3)/(x-5) = (y2-y1)/(x2-x1)
現在問題即(y2-y1)/(x2-x1) = ?
有個訣竅 y1^2=6x1 => y1^2-y2^2=6(x1-x2)
y2^2=6x2 (y1-y2)(y1+y2) = 6(x1-x2)
(y2-y1)/(x2-x1)=6/(y1+y2)=1
所求即為 (y-3)/(x-5)=1 => x-y=2
b.兩弦長度=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
有個訣竅 y=x-2 => y1=x1-2 => y1-y2 = x1-x2
y2=x2-2
所以所求√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] = √2(x1-x2)^2
現在問題即x1-x2 = ?
而(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2-4x1x2
因此想到用y=x-2 代入y^2=6x
=>x^2-10x+4=0 所以x1+x2=10 ,x1x2=4
故所求(x1-x2)^2 = 84
兩弦長度 = √(2x84) =2√42 如果沒算錯的話
c.兩點A,B座標值?
因為x1+x2=10
x1x2=4
所以x1= 5+√21, x2=5-√21
y1= 3+√21, y2=3-√21
故A(5+√21,3+√21) B(5-√21,3-√21)
(2)相信你從c的A,B值答案可以聯想出PA=2PB的算法了
不再贅述
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