大學入學中心試驗〈平成廿一年度〉 數學一
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答題須知：所有選項均為引導式填空，每個格子內可填入如下的選項：
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 a b c d
也就是說可填入負號，0~9的阿拉伯數字以及abcd四種英文字。
以注音符號標示而且反白的格子即為原題中必須填入答案的空格，而以注音符號標示
但卻沒有反白的符號則是原題目中，引述之前空格所留下的空格，不用填寫。
本卷滿分為100分，答題時間60分鐘。
第一問〈25分〉：
(1) a,b,c為定值且 a>0 。如果函數 f(x)=ax^2 + bx + c 滿足f(1)=4，f(2)=9的
條件，則 b=ㄅㄆa+ㄇ ， c=ㄈa-ㄉ 。
而該函數的方程式 ax^2 + bx + c=0 如果有兩個相異的實數解，可得到a的
範圍是 0<a<ㄊ 或 ㄋㄌ<a。
如給定 a=1/3 ，則 ax^2 + bx + c=0 的解就會是x=ㄍㄎ±√ㄏㄐ。
(2) 多項式 A=6x^2 + 5xy + y^2 + 2x - y - 20 進行因式分解之後的結果為
A=(ㄑx + y + ㄒ)(ㄓx + y - ㄔ)。
如果 x=-1 ，y=2 / (3 - √7) ，則A的值就會變成ㄕㄖㄗ。
第二問〈25分〉：
a為定值，x的二次函數 y=2x^2 - 4(a + 1)x + 10a + 1的圖形命名為G。
將圖形G的頂點以a來表示的話就會變成(a+ㄅ , ㄆㄇa^2 + ㄈa -ㄉ)
(1) 如果圖形G跟x軸相切的話， a= (ㄊ±√ㄋ) / ㄌ 。
(2) 上題中的函數在限制-1 ≦ x ≦ 3的時候，得到的最小值訂為m。
如果m=ㄆㄇa^2 + ㄈa -ㄉ的話，a必然有範圍ㄍㄎ ≦ a ≦ ㄏ 。
反過來說，如果a < ㄍㄎ ，m就會改變成ㄐㄑa + ㄒ ；
如果ㄏ < a ，m就會改變成ㄓㄔa + ㄕ 。
利用上面的資料，如果m= 7 / 9的話，合理的a值必然是 ㄖ / ㄗ或ㄘㄙ / ㄚ。
第三問〈30分〉：
ΔABC中，AB=2，BC=2√13，AC=6，那麼∠CAB=ㄅㄆㄇ度？
而ΔABC的面積則是ㄈ√ㄉ。
ΔABC的外接圓圓心為O，則OA=OB= ㄊ√ㄋㄌ / ㄍ 。
線段AB的中點為M，則OM= ㄎ√ㄏ / ㄐ
接著，在AC線段上取點D使AB=AD。如果ΔABD的外接圓中心命名為O'，
則O'A=O'B=ㄑ ， O'M=√ㄒ 。
又可以找到OO'= ㄓ√ㄔ / ㄕ ，於是可得tan∠ODO'= ㄖ√ㄗ / ㄘ
第四問〈20分〉：
有一個特別的機器，當你將寫著x那樣的數字的紙條放入機器時〈x必須
大於1〉，機器可以幫你求出滿足n ≦ x < n+1的整數n。以下是這台機
器的運作模式。
‧當 x > n 的時候，機器會掉出n個小球，並且輸出一張上面寫著
1 / (x - n) 的數字的紙條。
‧當 x = n 的時候，機器會掉出n個小球，但是不會掉出紙條。
(1)當我們把寫著27 / 8的紙條放進機器裡去，並且把後來產生的紙條
依序一一放入機器的時候，一開始因為3 ≦ (27 / 8) < 4，所以第一
次會掉出三個小球以及一張寫著8 / 3的紙條。
接著把寫著8 / 3的紙條放進機器中，第二次運作會產生ㄅ個小球以及
上面寫著ㄆ / ㄇ的紙條。
(2)如果把寫著 (1 + √10) / 3的紙條放入機器，並且把產生的新紙條
一一依序放入機器的話，
第一次會跑出ㄈ個小球，以及上面寫著 (ㄉ + √10) / ㄊ的紙條。
第二次會跑出ㄋ個小球，以及上面寫著 (ㄌ + √10) / ㄍ的紙條。
第三次會跑出ㄎ個小球，以及上面寫著 (ㄏ + √10) / ㄐ的紙條。
而第十一次會跑出ㄑ個小球，以及上面寫著 (ㄒ + √10) / ㄓ的紙條。
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禿龍洞主 朵思大王 南蠻之王 孟獲 建寧太守 雍闇 平均
孟獲之妻 祝融夫人 孟獲之弟 孟優 越雋太守 高定 武力６９
祝融之弟 帶來洞主 孟獲副將 忙牙長 高定大將 顎煥 智力３５
烏戈國王 兀突骨 第一洞元帥 金環三結 高定大將 朱褒 政治３３
八納洞主 木鹿大王 第二洞元帥 董荼那 魅力４４
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