大學入學中心試驗〈平成廿一年度〉 數學二
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答題須知：所有選項均為引導式填空，每個格子內可填入如下的選項：
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 a b c d
也就是說可填入負號，0~9的阿拉伯數字以及abcd四種英文字。
以注音符號標示而且反白的格子即為原題中必須填入答案的空格，而以注音符號標示
但卻沒有反白的符號則是原題目中，引述之前空格所留下的空格，不用填寫。
本卷滿分為100分，答題時間60分鐘。
第一問〈30分〉：
(1) x≧2 ， y≧2 ， 8≦xy≦16 ，想要求 z=log2(√x) + log2(y)的最大值。
先假設 s=log2(x) ， t=log2(y) ， 來計算 s + t 的範圍。
可以得到 s≧ㄅ ，t≧ㄅ ， ㄆ ≦ s + t ≦ ㄇ 這樣的範圍。
然後利用 z= (ㄈ / ㄉ)s + t的關係式，可以得知z在 s=ㄊ ， t=ㄋ的時候，
會有最大值 ㄌ / ㄍ 。也就是說z在 x=ㄎ ， y=ㄏ 的時候，
會有最大值 ㄌ / ㄍ 。
(2) 在 0≦θ<2π的範圍內，考慮滿足
5sinθ - 3cos(2θ) = 3 ........〈此式命名為☆〉
的θ值的狀況；
首先將☆式用sinθ來表示，會變成 ㄐ(sinθ)^2 + 5sinθ - ㄑ=0 。
因為 -1≦sinθ≦1 ，可以解出sinθ =ㄒ / ㄓ 。
接著，如果把滿足0≦θ<2π的範圍內的兩個θ解，較小的稱為θ1，
較大的稱為θ2的話，則
cosθ1 = √ㄔ / ㄓ ，cosθ2 = ㄕ√ㄔ / ㄓ
θ1會符合不等式ㄖ，而ㄖ由以下六個選項選一個：
<3> π/5<θ1<π/4 <4> π/4<θ1<π/3 <5> π/3<θ1<π/2
cos(π/5) = (1+√5) / 4 ， cos(π/12) = (√6+√2) / 4
就可以得知，可使 nθ1 > θ2 的最小正整數n必為ㄗ。
第二問〈三十分〉：
拋物線C的方程式為 y=2x^2 ，點A的座標為(1 , -2)。
A點對座標為(u , v)的Q點作對稱得到的對稱點是P，而P的座標是(x , y)。
於是可以得到 u=(x +ㄅ) / ㄆ ， v=(y - ㄇ) / ㄈ 的關係式。
當Q點在拋物線C上移動時，對應的P點軌跡會變成拋物線D，
則D的方程式就會變成 y=x^2 + ㄉx + ㄊ
兩個拋物線C與D的交點稱為R與S，其中x座標較小的是R。
於是點R，S的x座標依序是 ㄋㄌ ， ㄍ 。
而拋物線D上，通過R與S的切線則分別是 y=ㄎ 與 y=ㄏx - ㄐ 。
在拋物線D上若有一點P，且P的x座標為a，由P做垂直x軸的直線，
會跟拋物線C相交於H點。當 ㄋㄌ < a < ㄍ 的時候，三角形PHR的面積S(a)
可以表示為：
S(a)=(1 / ㄑ)×(ㄒa^3 + a^2 + ㄓa + ㄔ)
而當 a=ㄕ / ㄖ 的時候，S(a)會出現最大值。
接著就讓 a=ㄕ / ㄖ 。那麼直線HR跟拋物線D會相交於一個不是R的點，
該點的x座標則為 ㄗ / ㄘ 。
最後，在 (ㄗ / ㄘ)≦ x ≦(ㄕ / ㄖ) 的範圍中，拋物線D與直線PH跟
直線HR三者圍成的圖形面積就會是 ㄙㄚㄛ / ㄜㄝ 了。
第三問〈20分〉：
座標平面上有一個以原點O為中心，半徑為1的圓C1。圓上有兩點P,Q。
線段PQ上有點N使得 PN : NQ = 4 : 1 。 當然，當P與Q移動到同一點
時，N也會跟點P,O在同一點上。
(1) 點P，Q的座標分別假設為 (cosα , sinα)與(cosβ , sinβ)。
其中α，β的範圍為 0 ≦ α < 2π ， 0 ≦ β < 2π 。
這時候如果點N的座標為(X , Y)的話，必有
X = (cosα + ㄅcosβ) / ㄆ ， Y = (sinα + ㄇsinβ) / ㄈ 這樣的關係。
整理過後可以得到
X^2 + Y^2 = (ㄉ / ㄊㄋ)×cos(α - β) + (ㄌㄍ / ㄎㄏ) 。
而隨著點P，Q在圓C1上移動，可以得到 X^2 + Y^2 的範圍為：
(ㄐ / ㄑㄒ) ≦ X^2 + Y^2 ≦ 1。
(2) 當點P，Q在圓C1上移動時，點N的座標會符合以下不等式：
(ㄐ / ㄑㄒ) ≦ X^2 + Y^2 ≦ 1 ........〈此式命名為☆〉
這個不等式也代表著點N可以存在的軌跡。
如果我們把點Q(cosβ , sinβ)給固定住，而讓點P繞圓C1一圈的話，
點N的軌跡就會變成以點T 〈(ㄓ / ㄔ)×cosβ ， (ㄕ / ㄖ)×sinβ〉
為圓心，以 ㄗ / ㄘ 為半徑的圓C2。
接著讓點Q在圓C1上繞一圈，T就會變成以原點為圓心而且半徑
為 ㄙ / ㄚ 的另一個圓。而且當Q在圓C1上繞一圈時，被迫跟著動的
圓C2掃過的面積，也就跟☆的軌跡一模一樣了。
第四問〈20分〉：
P(x)是一個三次多項式，a,b,c為實數且a≠0。
當P(x)除以 5ax^2 - bx + c 時，得到商 -x + 2 與餘式 2x - 4 。
(1) P(x)一定會被 x-ㄅ 整除。而且商會是
ㄆㄇㄈx^2 + ㄉx - ㄊ + ㄋ
然後，如果P(x)除以 (5x - 2)(x - 1) 而餘4x的話，則b跟c可以用a來
表示： b=ㄌa - ㄍ ， c=ㄎa + ㄏ
以下均以 b=ㄌa - ㄍ ， c=ㄎa + ㄏ 當前提來討論。
(2) 三次方程式P(x)=0有三個相異的根。這三個根的倒數和如果用a來表示，
就會變成 4 - [ㄐ / (ㄑa - ㄒ)] 了。
(3) 三次方程式P(x)=0如果其中一個根的倒數是1+kι〈k是正實數〉，
那麼三個根的倒數和就會變成 ㄓ / ㄔ 。
並可由此得到a的值為ㄕ，最後得到k的值為ㄖ。
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