作者austin1119 ( )
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標題Re: [教材] 國一數學第二次段考複習重點
時間Thu May 20 21:05:27 2010
※ 引述《buttercrab ()》之銘言：
: 一直推文 乾脆回文吧
: 首先 我認為我全部推文都是平心靜氣說的
: 至於專業的跋扈一詞 我的確說得過份了點
: 在此先行致歉 並收回
: 不過我也想借此機會說說自己的看法
: 國中教學目的為何 我的看法是 know what
: 也就是讓學生一窺學問的輪廓
: 但是因為入學競爭 這樣的目的顯然已不單純
: 所以我現在覺得入學考試一方面是篩選學習成就較好的
: 也等於是在篩選比較有條件接受更難的教學的孩子
: 不過我今天用這樣的辭去評論某版友 是覺得
: 感覺上他想表達他唸了很多書 這是好事
: 但是他認為每個國中生在數學的表現都應該跟他一樣棒
: 這就不切實際
: 我問一句 各位覺得歷史是一門如何的學問
: 我必須坦承 我喜歡讀史書但是我歷史真不會應付考試
: 有一天 如果我的歷史老師斥喝我
: [你必須把事情發生的原因 來龍去脈 因果影響
: 時代背景 後續影響 及可能發生的不同結果 都要徹底了解
: 才叫做學歷史!!] 我想 我可能會很討厭那個老師
: 其實很多本科系的老師都有這種傾向
: 就是在自己專精的科目上 要求學生做出超乎該當階段的表現
: 但是我覺得問題的原點 我想表達的其實很簡單
: 我不想評論斜率的產生史 文化背景 延伸討論
: 我只想說 給定座標, m = dy/dx 有什麼難以啟齒的
: 好用 簡潔有力 會想的學生 自然會追問下去
: 很多學生 高中畢業打死不再碰數學 你跟他談嚴謹性？
: 不如讓他的數學生涯輕鬆點
您好:
您說的這點我當然知囉
我並不是要表達教師一定要要求學生多麼嚴謹
(這是數十年前的時空背景與數學教育的思潮，現今大大不同)
當然知道很多學生很不喜歡數學
數學老是考不好、沒信心(其實常常是考了太多沒意義的技巧或難題了)
我也知道，學習成就感與成績對學生情意的幫助
而我所想要表達的是，即使這樣不教，或這樣要求
但數學教師心裡應知道邏輯嚴密之於數學的重要性
還有了解數學證明之於整個方法論還有數學本身的意義與重要性‥
至於如何教學就端看個人的信念與數學哲學觀了‥‥
為了教學與理解，或許有時用點小手段，調整教學方式或教材順序當然無妨
但是，若只是為了快速解題，而不管邏輯順序地硬要使用了"牛刀"
我就比較不贊同了
一方面，原本課本丟這些問題的目的，就是要讓學生練習基本的數學程序與方法
或熟悉數學概念與相關的符號演算
就例如二點求一直線方程式，練習設未知數，解二元一次聯立方程式
不也是對於中數學的基礎練習呢?
雖然慢，但是是在累積基礎‥熟悉未知數的運算、操作與表徵
(很多學生上了高中，這部份的能力很弱‥因此這樣的特別練習與加強是有需要的)
引用A.Sfard或APOS理論
對數學物件的操作與運算有時雖然繁索，
但卻是學習數學的重要過程
對數學物件進行操作才能進一步內化、壓縮、最終達到物化數學概念的目標
(例如:能把向量、函數看成一個點之前，不也經年累月地操作向量與函數呢?)
很多年前的課堂上，曾經有學生拿"某名師"所教的"微分公式"來炫耀
來解高一高二一些解析幾何的問題‥
他說補習班老師很利害，原來微積分很簡單，大家都聽得懂‥
很多人說微積分很難是騙人的，或一定是老師教得不好‥‥‥
我記得我當時，下一節課上課馬上隨堂考
設計了一個很簡單的基本問題，結果全班多數學生都得滿分，他卻是0分的一員
也趁機機會教育一下
他後來就乖乖上課了，本來他上課是覺得太簡單基本，從不聽‥
我自己的立場是，該好好練習基本概念與程序時，就好好花時間做苦功夫
好的工具，雖然好用，但未必要早早就亮出來
一方面，這是較為沒意義沒結構的學習
二方面，邏輯順序有問題(雖然有人比較不在乎)
三方面，對其它的學習未必帶來幫助，有時是有害
補充一點:
國際性的數學教育研究也顯示:
台灣地區國二數學學習成就是全世界數一數二的
但情意、對數學的興趣與態度卻是最後的
這現象，也是很值得深思的‥‥
我並不是什麼數學專家，數學知識如果有100分，我懂的可能遠遠不到其中1分
我也略僅是懂一點點基礎的數學，還有對數學的各個面向有興趣
(數學之教育、歷史、社會、文化、哲學、娛樂等面向)
同時，我也不是很會教書，板書也很難看，教學經驗也不是很多‥
我不會教很多特殊的解法，也不會要學生背很多型，或給學生很多難題
我會強調數學概念的意義與數學的內涵與重要性
更強調對概念的理解與課本基礎問題的學習與練習
我有時也試著讓學生了解數學知識的結構，或許大部份學生聽了覺得有意義但久了就忘了
但我的教學與家教生涯運氣很好
雖然我從沒教過基測250以上的高中學生(含家教)
(早期，曾短暫帶過30個資質不錯的國中生，後來20多個上第一志願，
但我一直覺得當時的教法是害他們)
大部份是220~230或有一些是不到200的學生
但有許多個到了高二，是連國二數學都不太會的學生
後來數學學測都有高標至頂標‥
也有高一數學在校成績被當，後來社會組指考滿分‥
也許其它老師與家教老師更利害
但，我最開心的，不是學生考很好
而是當我發現學生是因為我而喜歡數學
變成自動自發學習，不需要我特別督促
別科老師恨得牙癢癢校排倒數的一群學生，竟然假日固定約數學小老師出來一起討論數學
當原本很討厭數學，數學課要嘛累了睡覺或是過動亂跳亂跑的學生
從0分軍團，到認真上課，數學成績還曾經變成段考全班第一
當念高職的學生，告訴我說他想當數學老師，數學學測也超過頂標‥
念三年社會組，本來高一是補考八科
後來考上某國立大學的數學系的學生，修了教育學程
所以，我也會認同要讓學生快樂地學習，並喜歡數學‥
: 最後我用一個比喻結尾 當然既然是比喻必有不合之處
: 有個瀕臨死亡的病患 痛苦難當 且客觀上已無救治至痊癒之可能
: 這時候 嗎啡的過量使用 應該是合宜的
: 但是如果有人說『嗎啡會上癮所以不能用，讓他痛』
: 你感覺如何？
以下開始說些故事，給有興趣的數學同好。
能夠從寥寥無幾個無中生有的公理，導出那麼多的結果，實在是幾何學的榮耀
-牛頓《原理》前言
註:這裡所謂的公理，在幾何原本中又區分為:
五個共有概念(common notion)與五個設準(postulate)
原始的意義是不同的，但現代數學習慣上不特別加以區分。
上述讚美了歐基里德集前人大成，寫成了幾何原本，建立了幾非何學之數學結構，
深深影響了往後的數學發展與數學學習
至於他是如何建構，基於什麼來建構，也是重要而值得探討的問題?
另外，突然想要，要跟發文者說聲抱歉，也許我之前推文的用詞、語句不當
當時趕時間要出門，沒太注意到自己的用詞，讓您誤會我的意思
我不是什麼數學的專家囉，我也是數學學習的初學者‥
當時只是覺得您有時間可以念過一次幾何原本，欣賞一下她的美
特別是第一冊的結構，相信會帶來不同的體會
了解數學家是如何建構起這棟數學大廈，還有如何來建立這棟大廈的地基
(當然100年前，希爾伯特花了很多努力補上幾何原本的不足與缺失)
也許會幫助您更了解典型的數學結構
並思索與了解為什麼數學家這麼強調邏輯順序的重要性
當然，大學群論也是訓練數學嚴密思考的一門學問
從群的公設出發，嚴密地演繹出我們從小習以為常的諸多性質與定理
PS 師大退休的洪教授與許志龍教授，
也都很推崇上述之學習過程，對數學思維訓練帶來的幫助
我以前總以為自己數學多好，多會解題
數學競賽‥科展得名‥中學數學成績不錯，高三下就在第一志願班當解題老師，寫詳解
大學雖一直混與玩但成績還不錯‥
但除了成就感之外，學越多，我越打從心裡不喜歡數學
覺得數學是一堆沒有意義來由的解法，算則，公式，一堆沒意義也沒用的定理與證明
後來，碩二時
在我讀了，也初步了解了幾何原本之後，才慢慢發現數學之結構與意義
開始喜歡上數學，同時，也發現以前的對數學原來是一點也不了解
開始從基本而重要的數學書念起‥
我的數學書非高中數學課教科書與講義大概快100本了吧(雖然沒有全都詳讀完)
以下，繼續再聊一些數學故事與數學教育‥
數學的發展當然可以暫時不管邏輯，還是能產生很多有用的工具
非常有力有效地解決問題，能蓬勃發展，廣為應用‥
除了古希臘之外的其它多數文明中的數學發展，
多以實用為取向，少有理論之建構
此外，近代微積分的發展過程亦是最鮮明的例子
牛頓與萊布尼茲發明了微積分之後的200年裡
微積分乃至分析學的各學門，微分方程，變分學，單複變函數論
依據直觀與圖形的想法而快速發展，並且在科學與其它領域之中廣為應用
但遲遲缺乏邏輯基礎，這也就像我們多數人初學微積分時，很多證明
都是"乎朧"地帶過，而不是先建立實數完備性之後
再透過嚴密的d-s語言來證明各定理
(也許少數數學系教授微積分就會這樣教，例:台大‥)
就如同當年，對於無窮小量與一些極限的概念，牛頓本身也無法掌握，
講不清楚，更說不明白
更遑論十八世紀晚期，柏林科學院為了微積分所需的基礎
徵求論文，希望有人能解決無窮概念，但最後沒有得到有貢獻的研究成果
數學家們擔心數學的基礎動搖，數學知識的確定性將不再
直到十九世紀，波札諾的努力、柯西的嚴格化運動
最終Weierstrass引入我們現在極限相概念的定義
並終於完成了分析的嚴格化工作
補上了分析學的數學與邏輯基礎，才使得數學家繼續安穩地進行工作
這也就是，我們目前高等微積分所學課本的重要內容
補充一點
Weierstrass的偉大除了在於上述工作，還有複變上的成果
他的一群學生都成為偉大的數學家，這是數學史上相當少見的
高斯雖然有黎曼這個高才生，
但是，事實上，黎曼早已經有許多重要研究成果才去找高斯的
有興趣的人，也可以先思考一些問題:
1.希臘幾何學(特別是亞里斯多德的想法與歐基里德幾何原本的架構)之於其它文明的數學
有何不同?什麼樣的背景造成這樣的差異?
特別是中國的"差不多先生"與希臘化時代柏拉圖乃至於數學家們對於"確定性"的重視
2.為什麼人類發展史上這樣推崇幾何原本
連後來的重要科學、力學、醫學、天文學、倫理學著作，
都相繼模仿它的體例與結構，試圖利用公理設準來建立知識呢?
3.學習高等微積分之於學習微積分的意義
4.100多年前，數學家們為什麼大費周張地處理數學的基礎問題
而後也產生了直觀主義、形式主義、邏輯主義之哲學派門與爭端呢?
5.數學與科學知識的本質與知識核證的有何不同?
6.數學知識的概念、理論與結構對比於各種解題方法，何者才是學習數學的目的?
(有機會再分享九章算術原術文對比於劉徽之面積與體積結構)
最後，分享一點數學教育的理論
引用一下Van Hiele所提出，關於我們學習幾何學的思維發展層次模式
由上往下發展‥
L0 視覺化(辨識)
能認識辨識不同的圖形，如三角形、正方形
但僅能把圖形視為整體，尚不能了解圖形的性質
不能根據性質來區分圖形(例如:有一個角為三角形為直角三角形直角)
L1 分析
學生能了解圖形的性質，並藉以性質來辨識圖形(而不是視覺化的直觀)
但無法解釋這些性質之間的關係，亦無法了解什麼是定義
L2 非形式演繹
學生能建立圖形性質之間的關係
可以從圖形中演繹出性質，並對圖形進行分類
可以形成非形式的推理(例如:A是B的充分條件)
但無法了解公理的角色與意義，無法了解邏輯順序的重要性與意義
也無法了解整個演繹學科的意義
(也就是可以從A推到B(局部或微觀的推理)，但無法了解其背後的邏輯關係與結構)
L3 形式演繹
理解公理系統是作為建立幾何學的方法與其重要性
了解未定義項、定義、設準、公理、定理與證明的角色與意義
可以嚴密地建構證明，而非記憶，並能使用不同的方法建行證明
L4 嚴謹
可以在不同的公設系統下進行工作，例如了解非歐幾何與歐氏幾何之關係
可以比較不同的幾何系統
這些階層之間的關係，就暫不多述
目前台灣的數學教育國二下階段開始從L1進入L2
但是研究顯示絕大多數的學生是進不到L3
我想也有數學「老師」，也僅達到2~3之間
雖然並不要強求學生要怎麼發展，學得多好
也許有時為了教學的需求，必需有一些小手段(重直觀暫放掉邏輯)
但身為數學教師的我們
有興趣，有時間、有閒情之餘也可以多充實自己
使自己本身能對數學教材具有結構和高觀點
培養來自各個不同面向，更加豐富的基本數學素養
例如:課程早期，教師可以用生活中的例子來比喻讓學生學習負負得正的概念
但數學教師本身應了解，代數之中如何證明"負負得正"
或至少要知道這是可以證明了，而且是基本的，並不是很繁索的
又或者，能了解很多數學家直到十八世紀仍無法掌握"負數的概念"，
始終認為負數是荒謬的，方程式的負根是假的根，錯誤的根
再從不同社會脈絡下，可了解為什麼中國數學家早期即能操作負數之運算
以及阿拉伯人如何在其社會情境下處理負數
從哲學的面向了解"負數"這樣一個概念，為何會產生這樣的認知困難‥
從教育的面向來看，是否有人研究過學生認知困難或迷失概念有哪些?
是否有教學方法或媒體能幫助學生建構負數之概念本身
而不單只是熟悉計算程序‥
如此，當學生初學習負數概念產生困難時，能更同理地面對，並給予協助‥
相信教學與數學教育會更完善美好一點
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家教學生出國玩了
結果從家教變成待家教板玩樂 @@
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◆ From: 140.122.174.6
※ 編輯: austin1119 來自: 140.122.174.6 (05/20 21:10)
推 soloban:推!認真文,最近學生總是抱怨學校都不要求仔細的寫證明題了 05/20 23:50
→ soloban:為什麼家教還要求一步步講述邏輯推理過程,畢竟基礎辨證的 05/20 23:52
→ soloban:是非常重要的 05/20 23:52
推 buttercrab:謝謝你認真寫完這篇 我全部看完了 05/21 00:54
→ buttercrab:我會找機會去翻翻幾何原本的 05/21 00:55
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