Re: [解題] 高一數學-因式餘式

[f12747 (Lefty)]

※ 引述《dueicekai (tt)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：因餘式
: 4.題目：http://0rz.tw/AJQRY 題目為黑字 正確答案為 3X+2
:   題目:已知deg(f(x))>=2，設(x+1)f(x)除以x^2+x+1的餘式為2x-1，
:        則f(x)除以x^2+x+1的餘式為多少？
: 5.想法：這方面的題目有很多種 唯獨這類型我常常忘記 昨天不小心在學生面前糗開
: 手機拍照解析度有些不清楚請各位包含

由題目知：
(x+1)f(x)=Q1(x)(x^2+x+1)+2x-1  -----------(1)
求f(x)=Q2(x)(x^2+x+1)+R(x)     -----------(2)
deg(f(x))>=2
故f(x)不可能為一次式        ※若f(x)為一次式，則R(x)就是f(x)

因deg(x^2+x+1)=2
可知R(x)最高次項為一次
故可令R(x)=ax+b，且a≠0

可將(2)式改成
f(x)=Q2(x)(x^2+x+1)+ax+b
再將左右式同乘上(x+1)，可得
(x+1)f(x)=(x+1)Q2(x)(x^2+x+1)+(x+1)(ax+b)
此時再檢查右式除上x^2+x+1的餘式應為多少
可知道(x+1)Q2(x)(x^2+x+1)為x^2+x+1的倍式，故不會有餘式

而再看(x+1)(ax+b)  因a≠0 故乘開必為二次式
故不能直接當作除上x^2+x+1的餘式，因此要將這式子除上x^2+x+1才能得到餘式
故可寫(x+1)(ax+b)=Q3(x)(x^2+x+1)+R2(x)
而因為(x+1)(ax+b)為二次式，故Q3(x)應為零次式(也就是某一數)
而由題目知R2(x)=2x-1

將左式(x+1)(ax+b)乘開可得到ax^2+(a+b)x+b
經由比較左右式的最高次項係數，可以知道Q3(x)應就是a
故可得到
ax^2+(a+b)x+b=ax^2+ax+a+2x-1
整理一下就變成
ax^2+(a+b)x+b=ax^2+(a+2)x+(a-1)
可由a+b=a+2得b=2
由b=a-1得a=3
故原本的餘式R(x)=3x+2



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.194.27.88
推 dueicekai:十分感謝 真正強者!!!
→ dueicekai:有點不懂R2(x)為什麼=2x-1
由題目知
(x+1)f(x)=Q1(x)(x^2+x+1)+2x-1
而此(2)式推來的式子如下
(x+1)f(x)=(x+1)Q2(x)(x^2+x+1)+(x+1)(ax+b)
          [        a        ] [    b    ]
因這兩式子都是(x+1)f(x)
故必定可將下式化成Q1(x)(x^2+x+1)+2x-1
故可以將帶有(x^2+x+1)的式子放在一邊
而框起來[a]的部分上面有說明，可視為(x^2+x+1)乘上(x+1)Q2(x)
而框起來[b]的部分上面有計算，可化成a(x^2+x+1)+R2(x)
故可將下式化成(x+1)f(x)=[(x+1)Q2(x)+a](x^2+x+1)+R2(x)
                        ↑   Q1(x)  ↑          ↑2x-1
※ 編輯: f12747          來自: 123.194.27.88        (08/23 17:04)
→ dueicekai:噢 我懂了 感謝= =