[解題] 三角形OAB的面積

[jackal594 (奕毛)]

年級：高二

科目：數學

章節：三維空間向量

請問三角形OAB面積等於向量OA和向量OB外積向量的二分之一長度，原因為何？

以下我的想法：

假設 O＝(0,0,0)  A＝(a,b,c)  B＝(p,q,r)

∣OA∣^2＝a^2+b^2+c^2
∣OB∣^2＝p^2+q^2+r^2
∣AB∣^2＝(p-a)^2+(q-b)^2+(r-c)^2

三角形OAB面積

＝(1/2)｜OA｜∣OB∣sin∠AOB

＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√(1-cos^2∠AOB)

＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√[1-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2/(2｜OA｜∣OB∣)^2]

＝(1/4)√[4｜OA｜^2∣OB∣^2-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2]

接著把∣OA∣^2  ∣OB∣^2  ∣AB∣^2 分別代入上式

經過繁複的計算整理

＝(1/2)√[(br-cq)^2+(cp-ar)^2+(aq-bp)^2]


除此之外，不曉得各位在教學的時候有無較簡易的方法或利用什麼觀念來解釋此公式？

以上

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◆ From: 220.138.16.71
※ 編輯: jackal594       來自: 220.138.16.71        (08/29 12:16)
→ f12747:向量外積就是絕對值ABsinΘ，若B是底邊，A就是高，算出來的
→ f12747:結果就是一個平行四邊行，若於以二則可得到一個三角形。
→ f12747:第一句應改為「若B是底邊，AsinΘ就是高」
→ jackal594:感謝樓上的解答 能否把"向量外積就是絕對值ABsinΘ"
→ jackal594:的原因稍微說明一下？
推 genius100:向量的外積是我們定義出來的一個向量,他的方向跟另外兩
→ genius100:個向量互相垂直,而且大小就是那個向量所夾的三角形面積
→ genius100:的大小
→ genius100:                            兩
→ jackal594:嗯嗯 我的問題就是為何等於向量所夾的三角形面積大小?
→ jackal594:同時垂直兩向量我了解 但等於面積是如何推導出來的呢?
→ jackal594:而且向量的外積算法是公式 並非定義
推 genius100:那你覺得外積公式是怎麼來的呢
→ jackal594:樓上 我先出門家教 回來再po文解釋可以嗎 麻煩等我一下
推 genius100:我翻遍了很多有關向量分析的書,每一本都說外積是定義出
→ genius100:來的,至於為啥要這樣定義,基本上向量本來就是為物理而發
推 genius100:展出來的數學工具,會這樣定義自然有它使用的方便性在
→ genius100:只是後來向量又另外在數學上擁有自己的一片領域
推 genius100:你是大學生嗎,是的話,手邊應該有相關原文書,因為定義真
→ genius100:的沒有什麼好解釋的,直接去看原文書的陳述會比較清楚
→ jackal594:感謝樓上還特地去翻書 樓下有神人利用投影解答了