推 jackal594:感謝原po的解答 原來可以利用投影的想法來做結合 08/29 18:49
→ jackal594:上了寶貴的一課 08/29 18:49
推 theoculus:推一下 08/29 19:13
※ 引述《jackal594 (奕毛)》之銘言：
: 年級：高二
: 科目：數學
: 章節：三維空間向量
: 請問三角形OAB面積等於向量OA和向量OB外積向量的二分之一長度，原因為何？
: 以下我的想法：
: 假設 O＝(0,0,0) A＝(a,b,c) B＝(p,q,r)
: ∣OA∣^2＝a^2+b^2+c^2
: ∣OB∣^2＝p^2+q^2+r^2
: ∣AB∣^2＝(p-a)^2+(q-b)^2+(r-c)^2
: 三角形OAB面積
: ＝(1/2)｜OA｜∣OB∣sin∠AOB
: ＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√(1-cos^2∠AOB)
: ＝(1/2)｜OA｜∣OB∣√[1-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2/(2｜OA｜∣OB∣)^2]
: ＝(1/4)√[4｜OA｜^2∣OB∣^2-(∣OA∣^2+∣OB∣^2-∣AB∣^2)^2]
: 接著把∣OA∣^2 ∣OB∣^2 ∣AB∣^2 分別代入上式
: 經過繁複的計算整理
: ＝(1/2)√[(br-cq)^2+(cp-ar)^2+(aq-bp)^2]
: 除此之外，不曉得各位在教學的時候有無較簡易的方法或利用什麼觀念來解釋此公式？
: 以上
您的想法是一般教科書的作法
這裡利用投影的想法，提供一個關於這個式子的幾何連結
令u＝(a,b,c) ,v＝(p,q,r) (這裡u與v是向量)
已知u ×v=(X,Y,Z)，其中:
X=|bc| Y=|ca| Z=|ab|
|qr| |rp| |pq|
為什麼u與v向量所張成的平行四邊形W的面積，會等於|u ×v|=(X^2+Y^2+Z^2)^1/2呢?
(也就是這二個向量的外積之長)
我們先把u與v向量所張成的平行四邊形W，分投影到yz,zx,xy平面上
這時，會得到三個平行四邊形
不難檢查這三個(投影)平行四邊形的面積剛好分別為上述的X，Y，Z
例:u與v投到xy平面上→(a,b,0)與(p,q,0)
則張成之平行四邊形面積為|ab|= Z
|pq|
又原OAB平面(即平行四邊形W所在平面)的法向量N即為u ×v=(x,y,z)
而N與yz,zx,xy這三個座標平面之法向量i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)
的夾角分別為為α，β，γ
而這三個角α，β，γ即為W所在平面(OAB平面)與yz,zx,xy平面的夾角
根據面積的投影，可得下面關係式
W的面積‧|cosα|= X (1)
W的面積‧|cosβ|= Y (2)
W的面積‧|cosγ|= Z (3)
又因為(cosα)^2 + (cosβ)^2 + (cosγ)^2 =1 (不難檢查) .....(4)
因此，將(1)(2)(3)整理代入(4)
可得，W的面積^2 = X^2+Y^2+Z^2
即u與v向量所張成的平行四邊形W的面積(X^2+Y^2+Z^2)^1/2恰好就等於|u ×v|
上述過程，即透過(1)(2)(3)(4)式，可將平行四邊形W的面積
與其投影至三個坐標平面之平行四邊形之面積X，Y，Z作連結
因而得證該式，並得到該式的幾何意義
以上供參考。
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