推 jasonvan:正解~~ 10/19 11:55
※ 引述《s00459 (沉靜)》之銘言：
: ※ 引述《jimmyy5566 (QQ)》之銘言：
: 提供一解
: a+b+c+d = 0
: a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 3
: 因為 a+b = -(c+d) 兩邊同時三次方
: a^3+3(a^2)b+3ab^2+b^3 = -[c^3+3(c^2)d+3cd^2+3d^3]
: 整理一下得 a^3+b^3+c^3+d^3 = -[3(a^2)b+3ab^2+3(c^2)d+3cd^2]
: 所以 3(a^2)b+3ab^2+3(c^2)d+3cd^2 = -3
: (a^2)b+ab^2+(c^2)d+cd^2 = -1
: 所以 abc + bcd + acd + abd = ab(c+d) + cd(a+b) 將 a+b=-(c+d) 代換
: = ab[-(a+b)] + cd[-(c+d)
: = -[(a^2)b+ab^2+(c^2)d+cd^2]
: = 1
: : d=-(a+b+c) 帶入2式
: : 整理出 6abc+3a^2(b+c)+3b^2(a+c)+3c^2(a+b)=-3
: : 同理可得6bcd+3b^2(c+d)+3c^2(b+d)+3d^2(b+c)=-3
: : 6acd+3a^2(c+d)+3c^2(a+d)+3d^2(a+c)=-3
: : 6abd+3a^2(b+d)+3b^2(a+d)+3d^2(a+b)=-3
: : _______________________________________________________
: : 總和 6(abc+bcd+acd+abd)+6a^2(b+c+d)+6-----------=-12
: : 6(abc+bcd+acd+abd)-6(a^3+b^3+c^3+d^3)=-12
: : abc+bcd+acd+abd=(-12+6*3) /6 = 1 #
a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)
=(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd)=0
故abc+abd+acd+bcd=1
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