推 a016960:....真神人也= = 10/29 09:53
推 vvbird:嗯, 是我錯了...受教... 10/29 10:11
推 vvbird:沒看到 z^3 10/29 10:11
※ 引述《a016960 (a01)》之銘言：
: 台中衛道的考古題
: 1.年級：國2
: 2.科目：數學
: 3.章節：因式分解
: 4.題目：
: X^3 + Y^3 - 3XY + 1 = 0 請因式分解
: 5.想法：
: 我拆了半天拆不出來
: 公式也沒什麼辦法用
: 後來有點自暴自棄用
: (X-1) (Y-1) (X+Y-2) 這類型的數字下去除看看
: 結果都沒辦法...崩潰= ="
: 想請各位高手幫解
這題可以有兩種走法，基本上因式分解就只能不斷嘗試，錯中求解~
像這題，我們可看三次方而有兩種公式可用：
(a+b)^3和a^3+b^3，故不斷測試後就會得到最後因式分解的結果
<法一>
x^3+y^3+z^3-3xyz
= (x+y)^3-3x^2y-3xy^2+z^3-3xyz
=(x+y)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz
=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)
=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2-3xy]
=(x+y+z)[(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy]
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy) 代入 z = 1 得解
<法二>
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy^2-xz^2-yx^2-yz^2-zx^2-zy^2-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-xy(x+y+z)-xz(x+y+z)-yz(x+y+z)
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy) 代入 z = 1 得解
有些人就直接將以上因式分解結果當作另一個公式記憶
它的使用可以與根與係數結合求解一元三次方程式的題目中三根之積
另外，在數學競賽中也很常考這題因式分解的應用
如: 若x+y+z=0，則x^3+y^3+z^3-3xyz= ?
由上知 x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy) = 0
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