※ 引述《a016960 (a01)》之銘言：
: 台中衛道的考古題
: 1.年級：國2
: 2.科目：數學
: 3.章節：因式分解
: 4.題目：
: X^3 + Y^3 - 3XY + 1 = 0 請因式分解
: 5.想法：
: 我拆了半天拆不出來
: 公式也沒什麼辦法用
: 後來有點自暴自棄用
: (X-1) (Y-1) (X+Y-2) 這類型的數字下去除看看
: 結果都沒辦法...崩潰= ="
: 想請各位高手幫解
以下提供一下2個有趣的想法
(一)從對式子的觀察
X^3 + Y^3 - 3XY + 1
既然是可以因式分解，每一項的冪次是一樣的
例如:分解成()()() 展開後的每一項，都是從各個括號中取一個元素相乘而得‥‥
其實這和說明二項式定理或多項式定理的想法是一樣的
前2項的冪次都是3次，後兩項不是
因此，會自然地把3XY想成3*X*Y或3(X*Y*1)
而1就可以想成是1*1*1
這樣自然有頭續了
也就是，原式可以看成 X^3 + Y^3 - 3X*Y*1 + 1^3
這也就可以連結到前面有人提到的式子: x^3+y^3+z^3-3xyz
然後再花點時間整理一下就出來了
這個想法，其實是作困難因式分解時，滿重要的一種觀察與思維喔
教師說明原理上也算直觀，算是適合國中生的程度
下面第二個想法較適合高中生
或是當老師本身以基本的方法分不出來，又不知答案與明確目標時，
可以嘗試幫助很快找出答案的方式
(二)仿照整係數多項式一次因式檢驗法(或整係數多項方程式的牛頓法)
因為無論Y是多少，三次方程必至少有一實根
因此，可把Y想成是整數，原式仍會成立
故把原式 X^3 + Y^3 - 3XY + 1 = 0
看成以 X 為變數的整係數三次方程式
X^3 - 3XY + (Y^3 + 1) = 0
可能的根會整除Y^3 + 1 =(Y+1)(Y^2-Y+1)
因此，可能的根至少可以觀察出 Y+1, -(Y+1), +Y^2-Y+1, -(Y^2-Y+1) 這四項
代入-(Y+1) 以因式定理檢查時，發現即為其根
故可分解出(X+Y+1)這個因式‥‥
接下來，把Y當常數利用長除法
即可得所求
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