推 kafsu:感謝協助解題^^b 01/08 09:38
※ 引述《kafsu (為何相遇)》之銘言：
: 1.年級：國二
: 2.科目：數學
: 3.章節：勾股定理+因式分解
: 4.題目：
: 有多少個不同的直角三角形，以2009^12為一條直角邊，且三邊都是整數？
: (全等三角形視為同一種三角形)
: 5.想法：
: c^2＝a^2＋2009^24
: c^2－a^2＝（c＋b）（c－b）
^^^^ ^^^^
c＋a c－a
: ＝2009^24＝(7x7x41)^24=7^48‧41^24
: 共有(48+1)(24+1)=1225個正因數
: 可是還要考慮三邊整數、兩邊之和要大於第三邊等基本性質
: 該怎麼刪去得到正確答案?
筆者嘗試補完後面:
因為2009^24是奇數,因此不管怎麼因數分解都會分成兩個奇數相乘
也就是說, c+a = 奇 , c-a = 奇 , 如此必能得到整數的(a,c)解
接著考慮三角形邊的關係, a + 2009^12 > c
這個條件等價於 c - a < 2009^12 (也就是兩邊之差小於第三邊)
所以在2009^24的1225個正因數中,有612種方法可以因數分解成兩
個相異整數乘積(不可相同,否則a變成0)
而這612種方法只要把較小的正因數對應c-a即可,因此這樣的直角
三角形正是有612種
僅供參考,有錯尚請不吝指正
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