Re: [求助] 餘式定理 x^11除以x^2 + x + 1 的餘式

[austin1119 (最後。)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: x^11除以 x^2 + x + 1 的餘式
: 一般就是
: x^11 =( x^3 -1 ) q(x) +r(x)
:        3
: 兩邊令x = 1 代入
: 我不太懂 這是什麼觀念 或是什麼理論保證

: 這樣把左邊次數降下來  就是餘式了
: 兩邊的x^3 用1代入 左邊會變成 x^2 感覺怪怪的 雖然我知道x^11 =x^9 *x^2
: 然後再把x^3=1 代入 就會降成x^2了

我們用一些大學數學的方法來看，為什麼可以這麼做

也就是，不止知其然，同時更能知其所以然‥‥

這也呼應了，為什麼教高中數學的老師需要了解大學數學

很多大家習以為常的解法或方法，都是依賴了某些大學的數學理論





首先，令x^11 =( x^2 +x+1 ) q(x) + ax+b      (*)

因為 x^2+x+1 | x^3 -1

所以 x^3 -1 ≡ 0 (mod x^2+x+1)
     x^3 ≡ 1 (mod x^2+x+1)
                                               ___      _
這裡可以直觀地想成在 F[x]/<x^2+x+1> 這個體裡面 x^3 等於 1
(x^2+x+1:irreducile，所以<x^2+x+1>是maximal ideal，所以F[x]/<x^2+x+1>是體 )

也就是上述您所說的，x^3 用1代入，這個動作的原因
                                    _______   _
同時，x^2+x+1≡ 0 (mod x^2+x+1)，即 x^2+x+1 = 0
      ____ _____________  _____   ___
因此，x^11=(x^3)^3 * x^2 =1*x^2 = x^2  in F[x]/<x^2+x+1>
      ___   _ ____   ____
可得，x^2 = 0 q(x) + ax+b
   ________   _
即 x^2-ax-b = 0 ，即 x^2+x+1 | x^2-ax-b

可得a=-1，b=-1
                                                           _
請注意，我們是考慮F[x]/<x^2+x+1>這個體裡面的元素，所以要加    (加霸)



解二:利用同餘性質的方法

 x^3 -1 ≡ 0 (mod x^2+x+1)
    x^3 ≡ 1 (mod x^2+x+1)
(x^3)^3 ≡ 1^3 (mod x^2+x+1)
    x^9 ≡ 1 (mod x^2+x+1)

又x^2 ≡ x^2 (mod x^2+x+1)
  x^9 * x^2 ≡ 1 * x^2 (mod x^2+x+1)
  x^11 ≡ x^2 (mod x^2+x+1)             (1)

又 0 ≡ x^2+x+1 (mod x^2+x+1)           (2)

由(1)(2)
x^11 - 0 ≡ x^2 - ( x^2+x+1 ) (mod x^2+x+1)
即x^11≡ -x-1 (mod x^2+x+1)

意即，x^11除以 x^2 + x + 1 的餘式為 -x-1


ps也可以考慮: F[x] → F[x]/<x^2+x+1> 這個epimorphism
  再加上一些代數性質來看

以上供有興趣的老師們參考。



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※ 編輯: austin1119      來自: 175.180.124.13       (01/30 22:16)
推 f12747:用心推
推 Heumay:推！
推 kh749:好專業...一直mod,差點以為是中華電信
推 wu1212121212:推原PO~
推 jackal594:推原PO數學系
推 clawer:Kummer看到你這樣做一定會從墳墓裡爬出來XD
→ dingponlee:這難道只有用大學的方法嗎?用餘式定理加上二項式定理
→ dingponlee:就可以解釋清楚了 用你這方法解釋學生會更不懂
→ akida:我倒是沒有在文中看到 "只有"用大學的方法
推 davidpanda:推
推 goshfju:這篇是寫給老師看的吧 不是給學生看的