1.年級：高中
2.科目：數學
3.章節：高中數學
4.題目；[ 二、三不知想法對不對，五則是想問更好的做法，
說給普通學生聽，數學歸納法怎樣寫 ]
二、試找出所有的三位數，使其平方的末三位數等於本身。
三、試問有多少組不同的正整數解(a,b,c,d,e)滿足
(a+b+c-d*e)^2 =2002(d*e-112)^2
五、給定兩正數c,d，且設方程式X^2 -c*X -d = 0(^為次方,*為乘)
的兩實根為m,u，已知實數列<a_k> (_k為下標)滿足
a_(n+2) <= c*a_(n+1) + d*a_n ,n=1,2,3.....
試證：可以找到兩正數p,q 使得對每一個正整數n
都滿足a_n <= p*m^n +q*u^n。
5.想法：二、試找出所有的三位數，使其平方的末三位數等於本身。
1.
設此三位數為x且x^2 = 1000a +x
則x(x-1)=1000a (a：正整數) 又1000 = 2^3*5^3
因 (x,x-1)=1 又 三位數x ,故設
(I) x=8h,x-1=125k (h,k：正整數)
或(II)x=125k,x-1=8h (h,k：正整數)
2.
由(I) x=126,376,626,876,而376為8之倍數
由(II)亦得 x= 625。 ans：376,625
三、試問有多少組不同的正整數解(a,b,c,d,e)滿足
(a+b+c-d*e)^2 =2002(d*e-112)^2
1.
a+b+c-d*e,d*e-112為整數，2002=2*7*11*13
若考慮質因數2的個數，當d*e-112不為0
右式有奇數個，而左式有偶數個(不合)
故d*e-112=0---(1),a+b+c =d*e=112---(2)
2.
由112 = 2^4*7則正因數d有5*2=10個(由(1))
則(d,e)有10種。
由(2) (a-1)+(b-1)+(c-1) = 109
又a-1,b-1,c-1為非負整數則
(a,b,c)組數 = (a-1,b-1,c-1)組數 = H(3取109)
ans= 10*H(3取109)
五、給定兩正數c,d，且設方程式X^2 -c*X -d = 0(^為次方,*為乘)
的兩實根為m,u，已知實數列<a_k> (_k為下標)滿足
a_(n+2) <= c*a_(n+1) + d*a_n ,n=1,2,3.....
試證：可以找到兩正數p,q 使得對每一個正整數n
都滿足a_n <= p*m^n +q*u^n。
[想法] 1. c,d給定 則m,u確定
2. 數列<a_k>為a1,a2,a3,a4....
其中a3以下有範圍：如a_3<= c*a_2+ d*a_1
a_4<= c*a_3+ d*a_2 .......
而a1,a2為任意實數
3. 目標今為(I)求出p=( ),q=( )>0後
使(II) 當n=1有a_1<= p*m +q*u-------(1)
當n=2有a_2<= p*m^2+q*u^2 ---(2)
而由於a3以下有範圍，故當(1),(2),p,q確定後
由2.有a3 <= c*(p*m^2 + q*u^2) + d*(p*m + q*u)
= p*m(cm + d) + qu(cu + d)
= p*m(m^2) + qu(u^2) = p*m^3 + q*u^3得證
a4,a5依此類推[但證明用數學歸納法請問怎麼寫？]
故重點在完成(I)與(II)
設p=q,(倒推求p,q) 則a_1<= p(m + u)
a_2<= p(m^2 +u^2)
故 a1/(m+u) <= P (m+u為2根和c>0) -----(3)
a2/(m^2+u^2) <= p (m,u為一正一負) -----(4)
故取p= a1/(m+u),a2/(m^2+u^2)兩者絕對值加1後
之最大值(如此是避免為0)
如此一來p,q使(3),(4)成立 則(1),(2)成立
即完成(I)與(II)了。
請問更簡單的證明。謝謝。
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