Re: [解題] 高中排列組合

[JustLR (斯巴達)]

※ 引述《chiway1027 (123)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：排列組合
: 4.題目：有1元硬幣2個,5元硬幣3個,10元硬幣2個,50元硬幣3個,100元鈔票1張,
:         共可構成幾種不同的款項?
: 5.想法：用換錢的方式跟學生說,但其中有一位學生反應他不懂,
:         問說有沒有其他的方法,很不願意接受這個方法,
:         所以來板上問一下各位老師,看是否有其他的解說方法?
:         我是先檢驗是否可以把幣值換小,2個1元不足以表達5元,所以不能換
:         如果有5個1元就可以換,所以5元有2個以上,可以表達10元,10元就轉換成5元的
:         依此類推,轉換過後有1元硬幣2個,5元硬幣7個,50元硬幣5個
:         每種都可以取或不取.所以情況有(2+1)(7+1)(5+1)-1(皆不取)=143種

你的學生該不會也是海山高中的吧 題目一模一樣啊 (阿 不是重點)

我的方法是一步一步的告訴他有哪些款額可以被你湊出來

首先看100元鈔票1張 你可以湊出0和100元 我們先把0算在內 後面再把它拿掉

然後現在你又多了 50元硬幣3個 所以你可以湊出哪些款額呢?

我先直接告訴他 能夠把幣值換大的就換大

50*2 = 100 先換掉 所以現在變成100元2張 50元1張

然後再引導學生去想 因為100元變兩張

所以可以湊出 │ 然後再分別加1張50
             │ 再衍生出下列款額
0            │ 0+50   =  50
100          │ 100+50 = 150
200          │ 200+50 = 250

所以可以湊出(2+1)(1+1)=6種款額 (是包含0的)

然後以此類推 慢慢去拓展他可以湊出來的款額


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以下是我怕題目出成這樣

1元硬幣2個,5元硬幣4個,10元硬幣2個,50元硬幣3個,100元鈔票1張

這時候學生一般都會把5元硬幣4個換成2個10元

所以看成 1元硬幣2個,5元硬幣0個,10元硬幣4個,50元硬幣1個,100元鈔票2張

有的人的算式或許會變成這樣 (2+1)(4+1)(1+1)(2+1)-1 = 89

結果就算錯了- -

答案應該是(2+1)(1+1)*9*(2+1)-1 = 171

2+1是 │  1+1是前面三種款額分別在加上1個50或0個50
      │  所以變成
0     │  0+0     0+50
100   │  100+0   100+50
200   │  200+0   200+50

中間的8是 5元硬幣4個,10元硬幣2個 你可以在從以上六個分別加上

0 5 10 15 20 ... 40 所以總共有9個

所以就變成

0  +0   0  +5   0  +10          0  +40
50 +0   50 +5   50 +10          50 +40
100+0   100+5   100+10 .....    100+40
150+0   150+5   150+10          150+40
200+0   200+5   200+10          200+40
250+0   250+5   250+10          250+40

總共是6*9種款額 (包含0)

然後不會有一種款額是會有重複的 這就是為什麼要把小幣值換大幣值的原因

所以如果讓他一步一步的去拓展慢慢列出

我想他的感覺比較不會那麼抽象 會顯得比較具體

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又另外怕碰到題目這樣出

1元硬幣2個,5元硬幣6個,10元硬幣2個,50元硬幣3個,100元鈔票1張

學生這時已經學會小抄換大鈔了!

於是乎就會先看成這樣

1元硬幣2個,5元硬幣0個,10元硬幣2+3個,50元硬幣3個,100元鈔票1張

然後再看成

1元硬幣2個,5元硬幣0個,10元硬幣0個,50元硬幣3+1個,100元鈔票1張

然後再看成

1元硬幣2個,5元硬幣0個,10元硬幣0個,50元硬幣0個,100元鈔票1+2張

於是乎只能湊出(2+1)(3+1)-1=11種款額 當然就大錯特錯啦

我是為了避免學生呆呆的只會套公式

就事先小鈔換大鈔 然後再把每個幣值的張數或個數加1再乘起來!

不騙你 就是有這種學生

所以我都是用那種慢慢拓展的方式列給他們看 比較不會淪於公式化的步驟

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推 Sashimii:SxxxxxxTxx
推 stanislas:xxVxxxTxx
推 nosignal:xxxxxxxTxx
推 bluerain0958:xxxxom
推 ice76824:xexxanxxxx
噓 SerVantTom:幹  躺著也中槍     他的字數根本跟我ID不同
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 124.11.132.187
推 ting2498:推簽名（？
→ theoculus:小鈔換大鈔??
→ JustLR:是"鈔"  囧
→ JustLR:咦?沒打錯- - 是2個50元(小鈔)換1個100元(大鈔)
→ theoculus:所以 "1元*5 , 5元*1" 要小鈔換大鈔變成"5元*2" ???
→ theoculus:不是應該 "小鈔總額"能換大鈔時, 要大鈔換小鈔嗎?
→ JustLR:願聞其詳(其實我想不出你的問題點在哪-__-)
→ theoculus:"1元*5;5元*1;10元*4;50元*1;100元*1" 小鈔換大鈔怎做?
→ theoculus:在想為什麼一開始要告訴學生 "能換大就換大"
→ JustLR:你這題不用換 就可以直接算 我是指可以換就換
→ JustLR:像是5元*3就可以換一個10元
→ JustLR:我是這樣做啦 不知道有更一般性或更簡單的想法?
→ theoculus:可以換就換@@  那前兩種硬幣1元*5;5元*1 到底要不要換?
→ JustLR:對吼 theoculus說的對 受教了
→ JustLR:你的想法比較好操作 我好像複雜化了
→ theoculus:我應該會用 為什麼 "1元*3 ;5元*2 " 付法數 = 款額數
→ theoculus:而又為什麼 "1元*5 ;5元*2 " 付法數 卻不等於 款額數
→ theoculus:再跟學生討論看看怎麼解決多算的部分。
→ chiway1027:受教了~感謝各位大大~還是花點時間慢慢講
→ chiway1027:學生比較容易懂