Re: [解題] 雙重根號 有理數還無理數

[armopen (考個沒完)]

※ 引述《chengwaye (賣)》之銘言：
: √3+√(2+√2)
: 這個能不能用尺規作圖畫出來

這可以利用沒有刻度的直尺 (只能用來畫線、線段) 和

圓規 (只能用來畫圓、弧) 在有限步驟之內畫出來

首先 √2, √3 都可以畫出來. 接下來 2 + √2 也畫得出來.

最後畫一個以 1 和 2 + √2 為直徑的半圓，考慮直角三角形

的母子相似性質可以得到 √(2 + √2). 所以 √3 + √(2 + √2)

也畫得出來.

: 我知道有理數能畫出來
: 但無理數無法用是無法用尺規作圖的

錯！ 說這句話代表你連高一的數學都沒弄懂，因為 √2 就是一個

畫得出來的無理數. 真正的可尺規作圖的數 (constructable number) 的理論

來自抽象代數的擴張體理論. 經由平行線截等性質、簡單的解直線方程式與圓方程式的

交點 (一點基本的高中數學知識) 可知：「可以經由有限次尺規作圖畫出來的

數必定是某個最高次數為 2 的非負整數次方的有理係數多項式的根」.

: 所以要把√3+√(2+√2)化簡來看是無理數還有理數...
: 答案是可以畫出來..所以是有理數
                        ^^^^^^^^ 這畫得出來，但是它是無理數.

: 向板上強者請益

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◆ From: 114.37.136.158
→ armopen:詳細證明可參考J.B.Fraleigh的抽象代數的section 32.
推 k82a9533:正解