[解題] 高中數學一題

[gwlc (gwlc)]

1.年級：高一
2.科目：數學
3.章節：多項式

4.題目：f(x)=2x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+15為整係數多項式，且複數2+i為方程式
        f(x)=0的一根，則：
        (1) f(x)的各項係數和必為偶數
        (2) 若f(x)除以x^2-1的餘式為-6x+4，則f(x)=0恰有三個實根

5.想法：因為2+i是方程式的根
        所以x^2-4x+5為f(x)的因式
        f(x)=(x^2-4x+5)(2x^3+px^2+qx+3)
        又五次整係數方程式必有一有理根
        根據一次因式檢驗法
        該根可能為1、-1、3、-3、1/2、-1/2、3/2、-3/2
        然後....
        我就卡關了(不曉得又哪條神經不通了...)
        因此上來請教各位大大指點迷津
        謝謝!

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◆ From: 122.124.51.205
※ 編輯: gwlc            來自: 122.124.51.205       (11/09 17:18)
推 flypanda:(1)是因為f(1)=2*(2+p+q+3) =>所以必為偶數
推 flypanda:(2) f(1),f(-1)代到你整理的f(x) 解p,q再來看....
→ theoculus:想法第四行哪來的...
→ theoculus:一二行的邏輯不太對
→ theoculus:應該改成  因為 2+i是實係數多項方程式f(x)=0 之一根
→ theoculus:才有那個第二行
→ gwlc:謝謝f大...原來我解到一半啊...謝謝
→ theoculus:五次整係數方程式"不"必有一有理根。