Re: [解題] 高一數學 龍騰版課本 多項式第二章p.125

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《nasa6779 (W.W.J)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：龍騰版課本 第二章全 多項式
:         版本、章節數、主題
: 4.題目：
: 因為學生是個不喜歡算數學的妹妹，但最近為了要努力，很認真的算數學習題
: 不論我指定了多少份量的練習題，她不但努力的算完，還會自己預習!
: (當老師遇到這種學生... 夫復何求Q_Q...)
: 因妹妹不喜歡算數學，且數學不強，
: 所以我每次都努力的想用最簡單易懂的方式講解題目，教她觀察題型等等...
: 這次遇到龍騰版課本p.125的第6題和第7題，我有點被打敗，
: 希望各位版友能教教我有沒有甚麼清楚易懂的方式來說明題目!> <
: 6. 已知二虛數k與k^2都是實係數方程式x^3+ax^2+bx+1=0的根，求k的值和a,b的值
: 7. 設二次多項式f(x)有一次因式(x-1)，而且(f(x))^2-f(x)的一次項係數與常數
:    皆為0，求f(x)
: 5.想法：
:   6. 知必有一實數解，用牛頓定理得x=1 or x=-1
這邊不太對

牛頓定理是用在整係數多項式找有理根

本題沒有保證這個實根會是有理根
:      若x=1 , 則 (x-1)(x^2+mx-1) 因(x^2+mx-1)判別式必大於0，與題意不合
:      則必為x=-1 ,也就是必有(x+1)的因式
:      由根與係數關係得k*k^2*-1=-1, 得k^3=1
:      k=1(不合),(-1+根號3i)/2, (-1-根號3i)/2
:      得方程式(x^2+x+1)(x+1)=x^3+2x^2+2x+1得a=b=2
這題應該是考虛根共軛
          _
也就是k^2=k
        _
則k^2*k=k*k=|k|^2   (但99課綱好像不教複數絕對值)

又k為虛數故|k|不為0

因此由|k^3|=|k|^3=|k|^2知|k|=1

故k^3=1，即兩虛根分別為x^3=1的虛根

再由三根積=-1知第三根為-1
: 7. 令f(x)=(x-1)(ax+b)
:    則(f(x))^2-f(x)=[(ax^2+(b-a)x-b)]^2-(x-1)(ax+b)
:    由於一次項係數與常數項皆為0，可得-2b(b-a)-(b-a)=0且b^2+b=0
:    得b(2b+1)(b-a)=0，b=-1/2(不合第二個式子)
:    又由第二個式子知 b=0 or -1 (但0不合，因a≠0)
:    所以多項式為
:    -(x-1)(x+1)=-x^2+1
:    想請問這兩題有沒有更簡單易懂的解法??
:    還是這些就是惟一的解法了?
利用f(1)=0

(f(x))^2-f(x)的常數項=[f(0)]^2-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0

可知f(0)=0或1

若f(1)=0且f(0)=0，則f(x)=ax(x-1)=ax^2-ax

[f(x)]^2-f(x)的一次項係數= a = 0 不合

若f(1)=0且f(0)=1，則f(x)=(x-1)(ax-1)=ax^2-(a+1)x+1

[f(x)]^2-f(x)的一次項係數=-2(a+1)-(a+1)=-3(a+1)=0

得a=-1，f(x)=-x^2+1

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◆ From: 1.200.145.156
推 nasa6779:很謝謝關於第七題的解法! 很巧妙
→ nasa6779:至於第六題 其實牛頓定理我之前就有想過題目沒有說a,b是
→ nasa6779:整數 所以用得有點心虛
→ nasa6779:99課綱的確沒教複數絕對值 所以這個解法可能無法跟學生說
→ nasa6779:不過還是謝謝:D
推 RedHerrings:第六題應該用(a+bi)^2=a-bi 比較係數就可以了
→ ice80712:就算是整數也不能用牛頓 三次式未必有有理根
推 passers:請問樓上i大，"未必有有理根"的原因是？
→ ice80712:x^3-2=0 x=2開三次根號(無理根) 另外兩根為虛數
→ ice80712:無理根成對是用在形如a+b根號c的無理根才適用
推 davidccc:三次式中至少有一個實根 但實根中有可能為無理根
→ davidccc:這個時候用牛頓檢查 就會出問題