[教學] 證明空間中一直線垂直於一平面

[linijay (Ajay)]

高中數學第四冊第一章，還沒教到空間中的平面，
課本上提到平面E與直線L垂直的定義是：
L與E交於P，在E上過P的任一條直線都和L垂直。

因為還沒教到平面的方程式，所以法向量的事要下個月再提吧，
我說找兩條在E上且過P的相異直線，證明它們和L垂直，
用直線系的想法就可以了解在E上過P的每一條直線都垂直L。

不料同學沒聽過直線系(不知是否小弟眼拙，它的確不在99課綱裡)，
而且話說出口我才想到，不在xy平面上的直線系怎麼表示，我自己還不知道哩!!

這兩位雙胞胎兄妹也坦白告訴我，他們的空間概念差到不行，
作性向測驗的時候，哥哥得百分位10，妹妹得百分位1(聽說這是最低，沒有0)，
所以如果可以的話我不想先去提平面的法向量，更別說去弄我自己還不清楚的直線系。

請問先進在教到這裡的時候是如何證明一條直線垂直一平面呢?

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◆ From: 61.62.149.92
推 bala1104:可是他們應該知道平面是由直線組成的吧
→ linijay:應該可以說得通吧，接下來還請賜教。
→ jollic:你連題目都沒有說要怎麼回答..........如果題目就單純只是
→ jollic:"如何證明一條直線垂直一平面"，那就只能說照定義走
謝謝指教，題目來了
[範圍]高中數學第四冊1-1，空間概念
[課本]翰林版，99課綱
[題目]一四面體ABCD，ABC與ACD為正三角形，∠BCD為直角，M為BD中點
      請證明CM垂直於平面ABD
[想法]以下假設兩個正三角形邊長為1(這不是正四面體喔，只是其中兩面是正△)
      1.△BCD為等腰直角，故CM垂直BD於M，且BD= √2，CM=1/√2
      2.∵AB=AD=1且BD=√2，∴AM=1/√2
      3.∵AM=CM=1/√2 且AC=1，故CM垂直AM於M
      4.∵CM⊥BD於M，且CM⊥AM於M，故CM垂直於平面ABD
[問題]課本上寫直線與平面垂直的定義如原文章(見最上面)
      我找了平面E上的兩條線和L垂直於同一點，
      但並沒有說明到定義中E上的「任一條」過P的直線
      其他困難請見原文章。
※ 編輯: linijay         來自: 61.62.94.171         (02/13 14:28)
→ linijay:題目如上，謝謝您。
→ linijay:我了解兩相異直線決定一平面，可是對這兩位同學來說，很要
→ linijay:求對基本定義的說明，這是他們的算「父訓」吧，連他們的同
→ linijay:學都知道他們的父母就是這樣嚴格要求他們的做事態度
→ linijay:另一主因是他們用「想」的也不這麼確定這題目成立。
→ linijay:目前的狀態是他們買我的帳(相信考試這樣答會有分數)，但是
→ linijay:顯然心裡是有一些懷疑。
→ jollic:有直覺的話，其實對一般學生證到這邊就算完工了。如果真的
→ jollic:希望想嚴謹一點的話，你可以再證一件事情給他們看，"已知兩
→ jollic:平面E和F的夾角為90度，交線為L，E上任一不在L上的點P對L的
→ jollic:投影點為Q，則PQ線段會垂直平面F"
→ jollic:上面那個的證明過程就會包含前述之直線對平面垂直的定義
→ linijay:謝謝喔~
推 hrjesus:我想問   講到這個範圍了普通向量應該有講過吧?
→ hrjesus:如果直接用 向量的方法應該可以很快速證明出來
→ hrjesus:只要垂直這平面上任何兩條直線  其他都可以是這兩個的
→ hrjesus:組合  所以也必定垂直  想問這方法可行嗎?
→ linijay:空間向量還在後面一點點，不過我方法我也有講，謝謝喔
→ hrjesus:不是空間向量的說法  就很一般的向量內積等於零
推 ji394vul3m6:這題用畢氏定理就可以證了~
→ ji394vul3m6:阿沒看完原PO想法就推了 請忽略我orz
→ linijay:同樣感謝指教~