Re: [求助] 高一下數學 1-1 數學歸納法

[todd731007 (Liang)]

※ 引述《nasada12 (NASA)》之銘言：
: 各位版友好，最近在家教的高一學生，
: 學校進度來到了1-1 數列後半段的"數學歸納法"
: 其中題型是這樣：
: 首項為4，第n項為3倍的第n-1項減去2       (題目是寫a1和an，但我不會打Q__Q)
: 1. 求第3項、第4項 (等等之類的、基本運算題)
: 2. 求第n項(也就是求an，用n去表)
:    以這題而言，答案是3^n+1
: 3. 以數學歸納法證之(略)
: 有說「遞迴求」，分別是累加法遞迴(後面加減常數時)和累乘法遞迴(有倍數時)
: 但兩種混合(有倍數又有常數時)，要怎麼使用這個遞迴?
我把這種混合型稱為「平移成等比型」
因為它只要將每一項平移（加減一個數）就會成為一個等比數列
而他的通式是「後項=p×前項+q」
以你的例子而言，就是「首項為4，後項=3×前項-2」
第一種解法就像你看解答or課本的解法一樣
第二種解法則是
將原式改為「(後項-k)=p×(前項-k)」意即每一項減去k之後會成為公比為p的等比數列
以你的例子而言
將「後項=3×前項-2」改為「(後項-k)=3×(前項-k)」
　　　　　　　　　　展開-> 後項-k =3×前項-3k
　　　　　　　　　　　　　 後項　 =3×前項-2k
　　　　 與原式比較後，可發現k=1，意即每一項減去1之後會成為公比為3的等比數列
　　　　 意即(a1-1)、(a2-1)、(a3-1)、...、(an-1)成等比，公比為3
利用等比數列公式(an-1)=(a1-1)×3^(n-1)
　　　　　　　　(an-1)=(4-1)×3^(n-1)
　　　　　　　　 an   =3^n+1
當然，第二個方法需要講解的詳細一點，學生才能理解。
建議這題需要講解久一點，先從第一種方法觀察出「平移成等比」的規律後，
再進入第2種解題方法。

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※ 編輯: todd731007      來自: 112.104.132.37       (02/16 12:18)
→ nasada12:謝謝T大的解說 很清楚! 但若要處理更複雜一點的
推 nasada12:像是a_n=(1+a_n-1)/3-a_n-1 甚至是倒數a_n=2-(1/a_n-1)
→ nasada12:似乎就無法平移成等比@@?
推 diego99:因為不是每種遞迴都適用同一種方法去找一般項阿XD
→ todd731007:a_n=(1+a_n-1)/3-a_n-1可以先展開化簡成通式
推 nasada12:那當別種遞迴出現該怎辦...