我跟同學是這麼說的：
舉例作整數除法13/3求餘數，畫下13號符號如OOOOOOOOOOOOO
接下來我每3個一殺，那不論我殺幾次，除以3的餘數都不會變。
也就是說，(n-3m)除以3的餘數，永遠和n除以3的餘數是一樣的。
f(x)除以(x^4-1)的餘式也一樣，我每逢(x^4-1)一殺，
不論我殺幾次，殺完後除以(x^4-1)的餘式都不會變，
也就是說：
f(x)除以(x^4-1)的餘式，和f(x)-Q(x)(x^4-1)除以(x^4-1)的餘式，會一樣。
那為何又可以將x^4=1代入呢？
例如我要從f(x)殺掉一組(x^4-1)，結果就是f(x)-x^4+1，
而當我將f(x)中的一組x^4換成1時，
意思就是拿掉一個x^4 => f(x)-x^4
然後再放上1 ==> f(x)-x^4+1 ==>跟從f(x)殺掉一組x^4-1是一樣的。
所以將f(x)的x^4以1取代，可得f(x)除以(x^4-1)的餘式。
如果還要解釋為何 (x^4)^n 可以 1^n 取代，那就要搬出二項式定理了，
不願意的話，用幾個低次的二項式展開，如(a+b)^3、(a+b)^2…
它們除以a，都只有最後一項b^n有機會留下餘數，應該可以就可以讓同學有感覺。
f(x)除以(x^4-1)的餘式，和f(x)除以x^3+x^2 + x + 1當然不一定相同，
不過接下來怎麼處理應該就不用小弟叨念了。
整數的同餘從高中教材中拿掉了，所以多項式的同餘解釋起來可能要累一些，
不過還好，小弟個人覺得整數論超難的說 XD
※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: x^11除以 x^3+x^2 + x + 1 的餘式
: 解答說
: x^11 =( x^4 -1 ) q(x) +r(x)
: 4
: 兩邊同時令x = 1 代入 左邊就會得到x^3
: 我不太懂 這是什麼觀念 或是什麼理論保證
: 這樣把左邊次數降下來 再除以 x^3+x^2 + x + 1
: -(x^2 + x + 1)就是餘式了
: 這到底是為什麼呢? 雖然我知道x^3+x^2 + x + 1是x^4 -1的因式
: 但能夠這樣令 是基於什麼道理
: 這是哪一招? 似懂又非懂
: 謝謝大家回答我的問題
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 27.105.4.96