Re: [解題] 高二數學，直線與圓

[yasfun (耶死放)]

PS在此提供的是幾何上直覺的觀點

嚴謹的證明可直接硬爆出PQ或由其他方法得出



令所求點 A (s,t)

假設圓的方程式為 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

令PQ線上任何一點N(c,d)

則觀察 (c-a,d-b) 和 (s-a,t-b) 這兩個向量

你會發現這兩個向量內積一定是r^2

( 在此借助原文中diego99大大推文的圖

因為 ON˙OA = OM˙OA = OP˙OA = OP˙OP = r^2 )


所以(c-a)(s-a) + (d-b)(t-b) = r^2

因此PQ的方程式為(x-a)(s-a) + (y-b)(t-b) = r^2

也就是俗稱帶一半公式

(把圓的方程式一半代原本的x,y 另一半代圓外的點

...好啦其實圓內的點也可只是含義不同XD )

然後把它和題目給的PQ方程式的係數(會成比例)比較後即可求出(s,t)



也有可能題目所給的圓方程式沒有配方

假設是a*x^2+b*y^2+ex+fy+g=0

這樣帶一半公式會變成a*x*s+b*y*t+e(x+s)/2+f(y+t)/2+g=0


這我就看不出來它的幾何意義了(可能是我太弱)

只能說是它代數化簡後的巧妙吧


印象中PQ好像叫做A對這個圓的極線吧

不要說它冷門嘛我高中用它用得很爽耶XDDDD

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◆ From: 140.112.217.1
推 kego:我稱之為換一半公式 又可以延伸出圓上一點 外部一點 內部一點
→ kego:三種不同狀況的換一半 有興趣的話 台中一中有老師深入介紹過
→ kego:說錯了 是建中的林信安老師有介紹
推 kego:http://0rz.tw/Or61d
推 choucj:其實您用OM˙OA= r^2 , 就已經解出來了:)
→ yasfun:阿對啦不過其實這篇是想說怎麼說明"極線"這個東東 所以假設
→ yasfun:了線上任一點