[解題] 高一數學 組合的證明題

[ivorycoast ()]

       1.年級：高一

       2.科目：數學

       3.章節：排列組合

       4.題目：

         (1)、試證C(2n，n)可被n+1整除。

         (2)、對任意正整數n、k，其中n大於等於k，
              求證C(n，k)、C(n+1，k)、C(n+2，k)......、C(n+k，k)
              的最大公因數為1。

         (3)、設N=19^88-1 (19的88次方減1)，
              求N的所有形如2^a．3^b的因數總和，
              其中a，b為正整數。

       5.想法：
         (1)依定義展開就不知道怎麼下手了，只記得跟(1+x)^2n有關，
            但沒頭緒.....
         (2)完全不知道該怎麼下手才是....
         (3)有想到將N變成(18+1)^88-1，但展開化簡後變成一個88項的
            展開式，不知道該怎麼找出形如2^a．3^b的因數來....

         有在數學板問過，可能實力太差，板友的解法我看不大懂，
         不知道各位老師有沒有適合高中生的解法....謝謝!!

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◆ From: 1.174.37.38
→ anncelyc:第一題用數學歸納法(?)
→ alamkil:(1)C(2n n)/n+1=2n*...*(n+1)/n+1=2n*.....*(n+2)
→ alamkil:除式下方少打n!，可用歸納法
→ Andrew801010:關於(3)，先用平方差寫出
→ Andrew801010:(19^44+1)(19^22+1)(19^11+1)(19^11-1)再利用同餘理
→ Andrew801010:論得到前三項不能被3整除(因為b為正整數所以檢驗此)
→ Andrew801010:再將19^11-1=(18+1)^11-1利用二項式展開將-1消去
→ Andrew801010:提公因式得到2^1*3^2(...)，其中括號內不能被2或3整
→ Andrew801010:除，因此所有可能寫成的形式只有2^1*3^1，2^1*3^2
→ Andrew801010:故總和為24  (若過程有問題再請各位補充說明，謝謝)
→ Andrew801010:不好意思，少討論2的部分...@@等等補上
→ Andrew801010:直接用(18+1)^88-1二項展開消去-1再提公因式(比較末)
→ Andrew801010:(三項)得2^4*3^2*(...)，其中括號不能被2或3整除
→ Andrew801010:故總和(2^1+...+2^4)(3^1+3^2)=240
→ alamkil:(c(n,k) c(n+1,k)......c(n+k,k))=(n!/k!*(n-k)!........
→ alamkil:(n+k)!/k!*n!)=n!/k!*(n-k)!(1......)=n!/k!*(n-k)!=1
→ peter9617:Andrew大是不是漏了2^0和3^0