令 f(x) = 3x‧[2^(n+3)]-4x‧[2^(n+2)]+5x‧[2^(n+1)]-8
<做法一> 反過來想:
若 x+1 是 f(x) 的因式,則 f(-1) = 0, 但是由你的做法代入後得到
f(-1) = -18‧2^n-8 != 0 for every integer n (註:「!=」表「不等於」)
所以 x+1 不是因式。
至於其它選項,以(A)為例,你可以令 -18‧2^n-8 = -20,移項後發現 n 不是整數,不合!
同樣情形適用於(B),(C),(D)。
但其實可以由下面事實直接選出答案為(E):
n = 1 ==> Remainder = -18 x 2^1 - 8 = -44
n = 2 ==> Remainder = -18 x 2^2 - 8 = -80
n = 3 ==> Remainder = -18 x 2^3 - 8 = -152
n = k ==> Remainder = -18 x 2^k -8
很明顯,餘式無法被決定出來,而且還看的出,n 愈大,則餘式愈小,選項當然就(E)啦!
而且,你的做法就是高中的做法啊,還不錯的啊!
<做法二> 直接處理也可求出餘式,不過相較於直接用因式定理當然較麻煩一點點,也還好!
我是先把前三項的 2^(n+1) 提出來,進而將 f 變為
f(x) = 2^(n+1)‧(9x) - 8 ............................(*)
= 2^(n+1)‧9(x+1-1) - 8
= 2^(n+1)‧9(x+1) - 2^(n+1)‧9 - 8
可看出餘式為 -2^(n+1)‧9 - 8 (這與你求出的餘式一樣),所以餘式跟 n 有關,選(E)
另外,在整理出方程式(*)後,也可以直接用長除法就可求餘式啦!(反正只是個一次式)
希望對你有幫助 !
※ 編輯: andyshr 來自: 118.171.102.136 (05/30 16:42)