推 FATTY2108:謝謝您，我會去嘗試，真的謝謝您 10/01 11:37
已知 F_n = F_n-1 + F_n-2 (n >= 3), F_1 = F_2 = 1
設存在定值 α, β 滿足 (F_n - α F_n-1) = β(F_n-1 - α F_n-2) --(*)
則 F_n - α F_n-1 = β^(n-2) (F_2 - α F_1) = β^(n-2) (1-α) --(1)
同理可得 F_n - β F_n-1 = α^(n-2) (1-β) --(2)
由 (1), (2) 可解得 F_n-1. 另一方面, 將 (*) 整理並與原題比較可知
F_n = (α+β) F_n-1 - (αβ) F_n-2 => α+β = 1, αβ=-1
所以 α, β 是二次方程式 x^2 - x - 1 = 0 的兩個根，因此
二根是 (-1 + √5)/2, (-1 - √5)/2.
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