→ rhmg:這是目前小五各版本因數的教法 10/23 01:48
推 armopen:根號可以用平方數的估計來引導, 10/23 13:32
→ oodh:可是我的學生很多人一開始並不是這麼算；可能有的學生國小沒 10/24 03:04
→ oodh:學好，或是有的老師並沒有按課網去教 10/24 03:05
※ 引述《armopen (八字-風水-姓名學)》之銘言：
: ※ 引述《winnous (反核四..)》之銘言：
: : 家教孩子他們班老師給的資料中有一段寫到
: : 在100以內，不能被2、3、5、7整除的數必為質數
: : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: : 家教孩子問我為什麼 但我有點不知道怎麼解釋
: : 我的想法是 2的倍數全部列出來
: : 再來列3的倍數
: : 再列出5 和7 的倍數 就可以發現了
: : 但覺得很不真實 可以請各位高手幫忙 這有什麼正確的說法嗎?
: 這個性質的證明其實不是太困難，主因是一個觀察
: 例如： 100 以內的數 n 是合數，則必然可被 2,3,5,7 其中一數整除
: 因為 100 = 10 x 10
: 所以如果找到 n = ab，則 a <= 10 或 b <= 10
: [否則，n = ab > 100 顯然不合]
: 根據算術基本定理：一個大於 1 的正整數，必然是質數或有限個質數的乘積
: 所以如果 a 是 n 的一個小於 10 的因數，那麼 a 不是一個質數，就是
: 有限個質數的乘積。又小於 10 的質數只有 2、3、5、7。
: (1) 情形一： a 是一個質數，則 a 必然是 2，3，5，7 其中一個。
: 則 100 有一個質因數 a，得證。
: (2) 情形二： a 不是一個質數，則 a 必然是 2 或 3 或 5 或 7 構成的乘積。
: 故得證。
: 以上我們證明了如果 100 以內的整數是合數，那麼至少可被 2,3,5,7 其中一數整除。
: 反過來說，如果 100 以內的整數不能被 2,3,5,7 其中一數整數，則必為質數。
這個問題，我會搭在「找 n 的所有因數」的問題後面教。
我都建議學生，要找所有因數時，「不要從 1 開始一路往後找」
要像這樣： 以120為例：
1 x 120 6 x 20
2 x 60 8 x 15
3 x 40 10 x 12
4 x 30
5 x 24
為什麼這樣找比較好呢，一個是不容易漏數，
一個是，當數字大起來的時候，不需要真的一直除
ex： 當你知道 120 = 4 x 30 時， 它會 = 8 x ___ 這個位置用 30 除 2 就行了
這樣不只是好算而已，還可以快速地判斷該大數是否有這個因數
比如說 120 = 4 x 30 30可以被2整除，所以 120 是 8 的倍數，
但 120 = 3 x 40 40不能被3整除，所以 120 不是 9 的倍數
還有第三個好處呢，就是可以藉此講解「該找到多少要停下來？」
讓學生發現左邊一直變大、右邊一直縮小，找到對調就可以停下來了。
這裡有三個衍生的重點，
一 )
第一個就是 「找到根號就可以停了」 (可以概念性地，提一下根號，不用真的教)
二 )
另一個是「 n = a x b， 若 n 有一個大於 a 之因數的話，就要有一個小於b的因數」
( 若 n 有一個大於 根號n 之因數的話，就要有一個小於 根號n 的因數)
第一點是直觀判斷，第二點是解釋它的原因，
這兩點教了，就可以用來解釋
「如果 100 以內的數，找到10 都還沒有找到它的因數，那它必為質數」
三 )
還有一個則是 「 n 有奇數個 因數 ==> n 為完全平方數」
所以我會建議這樣教 ^^
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