Re: [解題] 第二次北模數學

[LeonYo (僕は美味しいです)]

: 多選第10題的(1)(5)
: http://ppt.cc/JTKm
: (1)我的想法是因為O點無法判定，所以不確定是否在內部
: (5)我的想法是因為六倍，所以應該會在外部
: 但總覺得好像有點不確定，所以想聽聽大家的想法

P點在△ABC內部
若且唯若 AP=sAB+tAC，其中0<s+t<1,0<s<1,0<t<1

(2)6OP=3OA+2OB+OC → 6(AP-AO)=3(AA-AO)+2(AB-A0)+(AC-AO)
→6AP=2AB+AC → AP=(1/3)AB+(1/6)AC，故P在△ABC內部

(5)OQ=3OA+2OB+OC → AQ-AO=3(AA-AO)+2(AB-A0)+(AC-AO)
→AQ=2AB+AC-5AO，因為O是任意點，令AO=0可得反例
反過來說，要讓Q點在三角形內也很簡單，
令5AO=(3/2)AB+(1/2)AC即可(這只是任意的一例)

: → wayn2008:10.可以先假設M在ABC內部 利用AM=sAB+tAC, 0<s+t<1
: → wayn2008:可以得到OM=(1-s-t)OA+sOB+tOC =>1-s-t+s+t=1
: → wayn2008:所以得到結論 M在ABC內部的話 OA OB OC前係數相加 =1
: → wayn2008:OQ=3OA+2OB+OC =>3+2+1=6 故不在ABC內部 這樣吧?!
: → wayn2008:AM=sAB+tAC 這邊的結論錯了=.=  因為係數和跟s+t無關..
: → wayn2008:不過可用來檢驗(2)P在內部  0<1-s-t<1  0<s.t<1
: → wayn2008:我剛剛假設A(0,3) B(-1,-3) C(2,-1)結果Q(0,2)在內部...
: 所以Q點有可能在內部的意思嗎？

因為OQ=3OA+2OB+OC並不能推出Q一定在三角形內部或外部
依不同條件會有不同結果，所以(5)不能選

「M在ABC內部的話 OA OB OC前係數相加 =1」wayn也說了這是有問題的哦
簡單找個反例，令O(0,0) A(1,0) B(0,1) C(1,1)
令OM=(1/2)OA+(1/2)OB+(1/4)OC
M在三角形內部，但係數和並不是1

: → wayn2008:不然其實可以先假設三角形ABC三點在第一象限
: → wayn2008:OQ=3OA+2OB+OC =>Q點= 3A+2B+C 這樣Q點的x座標 y座標都
: → wayn2008:會比A.B.C還要大 當然就不會在內部了

找到反例，自然(5)就不能選

: → wayn2008:(5)這個選項 要是我寫 我會先選擇圈起來跳過 寫完其他
: → wayn2008:再回來寫這個選項..然後考慮O在ABC內部跟外部兩種情況
: → wayn2008:如果讓P點離O點越近 當然就比較有可能在內部..所以才舉
: → wayn2008:反例...只是我剛剛一直卡在某個點(現在還是覺得怪怪的XD)
: → wayn2008:最後才想說舉個 O在內部的例子看看
我很好奇是否
「即使O在三角形的內部(或外部)，也不能imply Q點在三角形的內部或外部」
但沒有進一步去想證明。
如果上述是對的，那wayn分成這兩個case討論就會變得沒什麼意義

: → wayn2008:怪的點是..假設 AQ=sAB+tAC 利用向量唯一分解 s.t任意數
: → wayn2008:OQ=(1-s-t)OA+sOB+tOC =>OA.OB.OC前係數和=1
: → wayn2008:跟題目敘述的OQ=3OA+2OB+OC 係數和=6 完全不搭嘎...
: → wayn2008:剛剛那個s.t為實數才對  只有一組解
: → wayn2008:所以我覺得很怪就是了XD 不過應該舉個反例就好 別理我XD
係數和為1上面就已經說過不對哦..

這裡我看到wayn的作法是假設有s, t，然後逆推回題目的條件。
其實比較好的方向應該是從題目的條件出發，然後推到你的s, t長什麼樣子。

: 推 LeonYo:我想問原個第10題(2)選項如何判斷的? (2)會(5)應該就會啦.
: 推 LeonYo:簡單的反例A(0,0)B(1,0)C(0,1)O(0,0)
: 推 LeonYo:wayn的解法很接近了呀, (5)的條件並不 imply Q 在三角形的
: → LeonYo:內部或外部

: 6OP=3OA+2OB+OC
: 3OP+2OP+OP=3OA+2OB+OC
: 3(OA+AP)+2(OB+BP)+(0C+CP)=3OA+2OB+OC
: 3AP+2BP+CP=0
: 3PA+2PB+PC=0
: 係數均為正，所以P在△ABC內部

仿照你的作法
OQ=3OA+2OB+OC
OQ=3OQ+3QA+2OQ+2QB+OQ+QC
3QA+2QB+QC+5OQ=0

跟原來的方法比較，多了5OQ，但OQ又不為0，使原來的判斷方法產生困難
把式子再代換如下

3QA+2QB+QC+5(OA+AQ)=0
-2QA+2QB+QC+5OA=0 當OA=0時，係數不全為正，用你原來的方法找到反例

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 116.89.134.206
推 wayn2008:(2)這個選項 我跟你做法相同 (5)我想明確知道他在哪邊..
→ wayn2008:所以就想一些奇怪的方式去看看 實際上會在哪邊
→ wayn2008:如果O在外部的話..我們可以考慮把三角形的點旋轉到x軸上
→ wayn2008:方 直接用x座標跟y座標看 這樣?!
→ wayn2008:其實..你令OM=1/2 OA+1/2 OB+1/4OC 係數和=1呀
推 wayn2008:AQ=2AB+AC-5AO 這邊把 AO=sAB+tAC 真的比較容易判別 thx
→ LeonYo:1/2+1/2+1/4=1?
→ wayn2008:對齁...傻了= =
→ wayn2008:最後那邊其實我是離開題目去想的 跟題目無關 昨天就這邊
→ wayn2008:搞不太懂 L大後來回的這篇才讓我懂昨天的盲點所在 thx