Re: [分享] 矩陣的乘法與行列運算

[condensed (heuristics)]

※ 引述《arist (       在他方   )》之銘言：
: https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5JZbjewKU72OweQHhEErbF-
: 之前很多學生再作矩陣乘法之時，發覺都用一格一格來想。
: 沒有整列整行再思考，趁這機會分享一下這想法。
: 畢竟還有不少家教老師沒有修過線代。

藉這篇交流點自己的想法。
arist老師的影片我有看了一些，沒全看完。
關於矩陣怎麼去初步理解比較容易接受，我的想法：

何以我們在規定兩個矩陣的運算時，
一定要將前面的矩陣的列，乘上後面矩陣的行？

例如兩個向量在做內積，我們幹嘛不直接寫成兩個行向量，
定義矩陣乘法的時候，直接歸定兩行相乘不就好了嗎？

也就是說，矩陣的乘法我們可以推廣為：
行乘以行、列乘以列、行乘以列、列乘以行這四種運算。
偏偏我們就是只選其中一種運算來定義。

我的想法是，這和張量運算用到的縮並是相呼應的。
透過愛因斯坦的求和習慣，我們可以比較容易地從指標的位置與數量，
直接知道整個運算後的結果是屬於哪一種張量。
這種運算具有很好以及方便的性質，
矩陣乘法的限定，恰巧提醒與反映了這種運算的特點。

所以我們可以將所有的矩陣運算都看成是對(1,1)張量進行縮並。
所有的(1,1)張量在進行這些縮並之後，所得到的最後的張量仍然是(1,1)的，
(0,0) (1,0) (0,1)可以視為(1,1)的特例。
如果牽涉其中，也能在最後運算後，從結果是行矩陣或列矩陣，
來直接看出最後的結果是(1,0)或者(0,1)張量。

這個好處讓我們得以輕易的判斷運算後的結果所得的「向量」，是逆變或協變的。

p.s.
當然以上只是教師板，要怎麼讓學生比較容易理解，要將表達重新修飾。
我目前想到的就是舉二維的座標變換的例子。
對應到解聯立方程式，形同與幾何上的觀點作連結。
就可以順便延伸為己何的觀點來詮釋二(或三)元一次聯立方程的解的公式，
如何以幾何直觀寫下。





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◆ From: 180.206.230.103
→ nomorethings:矩陣乘法起源於 1812年,最先使用tensor概念的是

我對歷史沒有深究。這裡主要是專注在教學。
我們中學所學的東西，都是已經建立很久，被視為具有特別的重要性的。
所以，之所以能長年生存及廣泛被使用，肯定不會只有起源時的最初動機。

而矩陣最常被用在作為線性代數裡的一種表示法，
所以我從這個角度，去找比較能具體連結到：

「為什麼矩陣這樣的一些約定俗成的規則，會被保留下來？」這個問題，
目的在於讓學生具體體會這種運算的必要性以及與生活的相關性。

歷史發展如何，不是我原先關注的重點。
不過還是感謝您的補充。

→ nomorethings:1900年, 我認為tensor 是matrix 的一種推廣與延伸
→ nomorethings:而不會把matrix當成tensor的簡化
歷史情形，我不清楚。

純就知識上來說，Matrix和Tensor本質很不同。

Tensor分量必須滿足所對應的協變與逆變，Matrix完全沒有這種限制。
也許將Matrix視為一種方便的「表示法」，更貼切。
受限於表述的形式，即使只考慮0~2階的張量，Matrix也無法對不同的2階張量做區別。

用途與意義皆不同。
Matrix除了能代表(1,1)張量的運算，
也能作為一種群表示來定義一個群。(不一定要和張量有關)


→ nomorethings:ref.http://goo.gl/akG3Ok
→ nomorethings:ref.http://goo.gl/r9VXk1
→ nomorethings:ref.http://goo.gl/E2cBmd
→ nomorethings:矩陣的概念起源的相當早, 是一種基本的簡化工具
推 alamabarry:一直以為張量是因應彈性力學而出來的 所以推廣至四階
推 alamabarry:看來是錯的~
矩陣最多只能表示到二階張量的分量，三階以上就無法。

我猜部份原因是我們在紙上能畫出來的就只有方陣，
我也曾設想過立體方陣作為推廣，當然這在實用上可能是不必要的。

不過我不是念數學的，這個問題留給數學家去做就好 XD


※ 編輯: condensed       來自: 180.206.230.103      (11/03 01:29)
推 kend:印象中線代有些原文書行列觀點相反，乘法時規律就不一樣了
→ nomorethings:矩陣乘法會這麼好用的原因就是很直觀, 就是把
→ nomorethings:線性方程組用簡單的方式記憶, 然後要解線性方程組的
→ nomorethings:時候我只要管係數,不用受到變數的干擾
→ nomorethings:我可以討論係數矩陣的各種特性來預測我待會解出來的
→ nomorethings:解狀態是如何.
→ nomorethings:當然後來的什麼分解的, 那又是另外一個故事了.