→ condensed:如果這是選擇題 選項有 無意義 或者 無法比較等答案， 11/07 01:38
→ condensed:我可以接受這樣的選項為正確答案。但如果是是非題，就有 11/07 01:39
→ condensed:題意不清的嫌疑，因為命題不充分與敘述為偽是兩回事。 11/07 01:40
→ condensed:簡單說：「香蕉>蘋果，對或錯？」這樣的命題本身就曖昧 11/07 01:41
→ condensed:不明。這時候無論去回答這個是或非，都同等怪異。 11/07 01:42
推 diego99:看完這篇我想到的問題是，為什麼a^(1/n)，n一定要正的？ 11/07 09:16
→ diego99:例如: 4^(1/(-2)) 是真的無法做運算嗎？ 11/07 09:17
推 diego99:另外，我很想知道當你和學生說完「沒定義，所以會有問題」 11/07 09:58
→ diego99:之後，有沒有跟學生說明會發生的問題是什麼？ 11/07 09:59
→ diego99:因為在此篇中，我沒看到你有提及會發生什麼問題。 11/07 09:59
→ diego99:至少在我的角度上我不會逼迫學生去順從定義， 11/07 10:01
→ diego99:但我會告訴他，如果不順從，就會發生什麼事情。 11/07 10:01
→ jollic:第一個問題，即等價討論當m=-1,n=2的指數 11/07 11:12
→ jollic:第二個問題，我不清楚你是要問"為什麼底數為負為什麼不定義 11/07 11:17
→ jollic:上面引號裡面的一開頭，多打了一個為什麼 11/07 11:20
推 diego99:我第2個要問的是，你有沒有和學生說明遇到的「問題」 11/07 12:01
→ diego99:是什麼？還是就只是單純說「因為沒定義，所以會有問題」 11/07 12:01
→ diego99:就直接帶過？ 11/07 12:01
→ diego99:就像你說的，書上的定義說 a^(1/n)的n要是正數 11/07 12:02
→ diego99:那不就有很多情況與此定義「矛盾」嗎？ 11/07 12:03
→ diego99:那為何這次改口說等價，而非「與定義不符，所以有問題」？ 11/07 12:03
→ diego99:又或者 27^(2/(-3))到底能不能做？ 11/07 12:05
→ diego99:這時候你又要說他與 27^((-2)/3) 等價囉？ 11/07 12:05
→ diego99:這時候我所好奇的就會是，各版本正式教材中「定義」真的是 11/07 12:06
→ diego99:這樣寫的嗎？ 11/07 12:06
看來看去，您應該還是沒有翻閱正式課本是如何撰寫這部份
首先，看了許多課本以後確實發現沒有一本書有提到或寫到 如 : 27^(2/(-3))
即有理數指數，分母取負整數之狀況
但是
課本 ( 全華、龍騰 ) 卻有提到一件事
" 因為有理數的表示法不唯一，而所有的有理數都可以寫為 m/n 的型式，其中
m 為整數，n 為正整數 "
據此說明加上書中的定義方式，老師可以做下面的解讀並教導學生
由於高中生都可以接受有理數可以擴分，並其值相等
即 2/(-3) 本質上與 (-2)/3 是相等的 ...... 這邊可以說是擴分乘上 -1 倍
而此事實在我們習慣的實數系或是有理數系早已成立
( 因為我們能在有理數系中定義出等價類，而 2/(-3) 與 (-2)/3 在同一個等價類 )
故儘管未定義 ( 事實上也不需要 ) 27^(2/(-3))
但因為 2/(-3) = (-2)/3
因此 27^(2/(-3)) = 27^((-2)/3) ... 因為有理數間的等價關係
= (27的三次根號)^(-2) ... 由定義
= 1/9
-----------------------------------------------------------------------------
希望你不要再問我
既然可以算
那一開始的定義就不要限定 n 一定要正整數，而改成整數就好了
的問題
→ jollic:我不懂你上面的疑惑是一種激問法，還是專業度需要強化而問 11/07 14:15
→ jollic:再來，正式書本是否這樣寫，就麻煩您自己去查證 11/07 14:17
→ jollic:而在教學生，我也認同強背定義是不對的，因此在以未定義做 11/07 14:19
→ jollic:回答以後，將針對學生的程度補充定義的背後意義 11/07 14:21
推 diego99:激問法？ 你文內說有問題卻不說問題在哪是事實，不是嗎？ 11/07 17:15
→ diego99:你要怎麼教你學生本來就是你的事情，但我總可以對這件事懷 11/07 17:16
→ diego99:疑吧？ 還是說你認為我這樣懷疑是不合理的？ 11/07 17:17
→ jollic:哦~原來如此，我本來認定上面的定義方式以及您的問題，是所 11/08 01:41
→ jollic:有熟讀高中教材的老師都擁有的基本認知，所以我才沒有多花 11/08 01:42
→ jollic:篇幅、班門弄斧。也因為我有這個假設認知，所以見您如此發 11/08 01:42
→ jollic:問，我才疑惑您究竟是真不知道而發問，還是假不知道而激問 11/08 01:43
→ jollic:有點晚了，等我有時間後，再慢慢回答您要的數學答案 11/08 01:47
推 diego99:「認定定義方式」？ 別鬧了jollic先生！ 你要不要再回頭 11/08 08:39
→ diego99:看看你打的定義是什麼？ 11/08 08:40
→ diego99:別忘了，我前面的提問可都是照你所說的問， 11/08 08:42
→ diego99:還是說你的學生那麼聰明，完全不會有這樣的問題？ 11/08 08:42
接著回答
當指數推廣到有理數後，為什麼需要限定底數為正
而關於這個問題
目前我只有看到南一課本有正式寫進課文中，而非其他版本只是放進教師手冊甚至是
沒有提到這部分的討論
南一課本從一開始推廣指數從正整數到整數的時候
即用上了兩個字 "堅持"
說 : 在指數的推廣時，我們堅持指數定律需保持不變
( 在這邊我還記得當年微積分教授也說過，指數函數被創造出來有一個原因是想找找看
有沒有什麼函數可以滿足 f(x+y) = f(x) * f(y) 的性質 )
** 註: 指數定律是 (1) a^m * a^n = a^(m+n)
(2) (a^m)^n = a^(mn)
(3) (ab)^m = a^m * b^m
基於這個觀點
若是我們推廣指數到有理數時，也允許底數為負的話
會發生如
i = sqrt(-1) ... 虛數 i 的定義
= (-1) ^ (1/2) ... 前述有理數指數定義，去除底數限制
= (-1) ^ (2/4) ... 有理數的等價關係
= ( (-1)^2 ) ^ (1/4) ... 指數定律
= ( 1 ^ 2 ) ^ (1/4) ... 正整數指數
= 1 ^ (2/4) ... 指數定律
= 1 ^ (1/2) ... 有理數的等價關係
= sqrt(1) ... 有理數指數
= 1
矛盾出現
是故，在此我們希望去限制底數只能為正實數，以避免指數定律的不成立。
當然，有沒有好的辦法讓底數不要受限，又能讓指數定律成立?
課本告訴學生，高中階段尚不討論。
(據我們所知，一種解決方法即進入複變數函數的世界處理，這部分當然就太深了。)
從上面的課程布局來看
我也就不懂為什麼會有學完極式的高三學生跑來說高一教錯了的不一致行徑。
就以您提的例子來說明好了
: 令 x = (-2)^(1/2)
: 則 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i （詳見99課綱選修上冊複數極式）
^^^^
"則" 字在數學用語中，即含有 " 推論 " 的意思
而上面的兩句話，也就是代表
if x = (-2)^(1/2), then x^2 = -2 .
這部份，因為指數定律已經無法使用
那我們究竟要依據什麼理由才能做出這個推論 ?
: case 1. x = √2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的）
: 複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。
: case 2. x = -√2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的）
: 複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。
---
: 我前面講的是是否有某個東西的平方是-2
:
: 學生會不會有這樣的疑問：
:
: 為什麼"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"對，
:
: 而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"卻錯？
在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。
: 或者有這樣的疑問：
:
: 為什麼"x = (2)^(1/2) => x = √2"對，
:
: 而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"卻錯？
在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。
---
: 這邊值得注意的一點是，
:
: 課綱中提到底數為正的情況在於指數函數(而且還不能是1)，而非指數運算，:
幫補課綱原文：
要介紹指數函數（底數a>0,a≠1）的圖形與性質，包括：值域、單調性（嚴
格遞增、嚴格遞減）與凹凸性，這裡凹凸性僅做割弦在函數圖形上方的直觀介紹
即可。主要的指數函數為2^x 及10^x 。
: 因此學生會不會有這樣的疑問：
:
: 既然指數底數在高中課程為正，
:
: 那為什麼"2^2 = 4 "對， "(-2)^2 = 4"也對？
由課綱的敘述可見，只考慮底數為正顯然是針對介紹指數函數的圖形時所用。
: 又為什麼"[2^(1/2)]^2 = 2"對，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"卻錯了？
^^^^^^^^^^^^^^^^^
同上理由，指數定律在底數為負的時候
會出現問題，是故無法使用
: 但實際上真的是錯的嗎？
實際上，是對是錯，才疏學淺我也不敢肯定，但至少我從徹尾都沒說過"錯"
只會告訴學生，在現行的數學架構下這部份會有一些我們還沒辦法處理的問題，等到
以後學得更多，有了能力之後，才能做適當的判斷。
但如果學生認為 "不選擇" = "錯"
那千萬要機會教育，不讓學生只會二分法 ---- 即不是對，就是錯。
最後，如果要問，為什麼要堅持指數定律成立，以小弟我個人的解讀 (不一定正確)
1. 滿足指數定律的性質是創造指數的動機之一。
2. 高中課程中，我沒有看見一定非要定義如 (-1)^(1/2) ，底數小於0時候的
有理數指數之後，才能夠解決的問題 (滿足求知欲當然另當別論)。
3. 小弟才疏學淺，尚不能理解課本編輯的教授們之用意。
4. 其他各種我沒想到的原因。
以上
※ 編輯: jollic 來自: 114.25.174.213 (11/08 21:48)
※ 編輯: jollic 來自: 114.25.174.213 (11/08 21:55)
推 diego99:不管如何，你把推文刪掉是怎樣？ 11/08 22:29
推 diego99:...呃....抱歉是我看錯... 11/08 22:41