Re: [求助] 高中指數

[diego99 (誰是我的小天使？！)]

抱歉因一時不查，誤以為推文被刪，先特別向你抱歉。

我稍作整理如下。

※ 引述《jollic (jollic)》之銘言：
: 標題: Re: [求助] 高中指數
: 時間: Thu Nov  7 00:42:31 2013
: : 5.想法：我知道有理指數的底數不可為負
: :         但我計算的結果:
: :         1.(-2)6次方 = 64
:
: 此步驟的問題在， 當a = -2 < 0 , n = 1/2 in Q 時
:
: a^n 本身即不合定義了， (a^n)^12 = a^(n*12) 此指數律根本就有問題
:
: :         2.(根號2*i)12次方 = 64*1 = 64
:
: 根號2*i = 根號(-2)  , 而 (-2)^(1/2) 並沒有定義成 根號(-2)，所以有問題
:
: :         3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根號4)12次方=64
:
: 同樣地，底數為負的時候，未定義，因此此式依然有問題
:
: :         都是 64 > 0
:

以上我沒反對過，

原始推文，我就很單純的問你「沒定義會有問題，你會告訴學生問題在哪嗎？」

:
: 並且依照這樣的認知下
:
: 我們也不應該遇到已經學完複數極式的高三孩子
:
: 找我們說:老師，你高一教的是錯的。
:
: 因為高三的複數極式都是在問
:
: " 求 x^2 = -1 的根 " 而非問 " (-1)^(1/2) 為何? "
http://ppt.cc/8SIB

我這邊就當做你自己已經體會囉。

以下先恕刪

: 看來看去，您應該還是沒有翻閱正式課本是如何撰寫這部份
:
: 首先，看了許多課本以後確實發現沒有一本書有提到或寫到 如 : 27^(2/(-3))
:
: 即有理數指數，分母取負整數之狀況
:
: 但是
:
: 課本 ( 全華、龍騰 ) 卻有提到一件事
:
: " 因為有理數的表示法不唯一，而所有的有理數都可以寫為 m/n 的型式，其中
:
:   m 為整數，n 為正整數 "

這邊不就說明了當出乎「定義」所敘述的情況時，

不一定是「無法處理」的？

當然目前的癥結點不在於指數，而是在於底數，

課本裡面提到的是「當 a>0 且 n為正整數時，...(略)」

學生有思考自然就會詢問其他情況是否可以計算？

其實你想說有問題真的不用大廢周章，光一篇網路文章就能解釋的，

例如 http://ppt.cc/SMYD

你大可以說問題在那兒且把它說明清楚，

但教授課程最重要的在於那目前看不見的地方，

是否可以幫學生做預前的準備，

用學生能理解的方式，讓這樣的說明不會與之後所學習到的產生矛盾，

這樣的預備知識在一些情況就是更重要的。

: 希望你不要再問我
:
: 既然可以算
:
: 那一開始的定義就不要限定 n 一定要正整數，而改成整數就好了
:
: 的問題

沒，這時候我會問，「不是整數不行嗎？」

: 說 : 在指數的推廣時，我們堅持指數定律需保持不變
:
: ( 在這邊我還記得當年微積分教授也說過，指數函數被創造出來有一個原因是想找找看
:
:   有沒有什麼函數可以滿足  f(x+y) = f(x) * f(y) 的性質 )
:
: ** 註: 指數定律是 (1) a^m * a^n = a^(m+n)
:
:                   (2) (a^m)^n = a^(mn)
:
:                   (3) (ab)^m = a^m * b^m
:
: 基於這個觀點
:
: 若是我們推廣指數到有理數時，也允許底數為負的話
:
: 會發生如
:
:
:    i        =  sqrt(-1)             ... 虛數 i 的定義
:
:             =  (-1) ^ (1/2)         ... 前述有理數指數定義，去除底數限制
:
:             =  (-1) ^ (2/4)         ... 有理數的等價關係
:
:             =  ( (-1)^2 ) ^ (1/4)   ... 指數定律
:
:             =  (  1 ^ 2 ) ^ (1/4)   ... 正整數指數
:
:             =  1 ^ (2/4)            ... 指數定律
:
:             =  1 ^ (1/2)            ... 有理數的等價關係
:
:             =  sqrt(1)              ... 有理數指數
:
:             =  1
:
: 矛盾出現

上面我有放網址，你找得到的，我也找得到，不過還是感謝你。

:
: 是故，在此我們希望去限制底數只能為正實數，以避免指數定律的不成立。
:
: 當然，有沒有好的辦法讓底數不要受限，又能讓指數定律成立?
:
: 課本告訴學生，高中階段尚不討論。

高中階段不討論？

你指的是不用討論，還是不花時間討論？

當然你討不討論是你的選擇。

:
: (據我們所知，一種解決方法即進入複變數函數的世界處理，這部分當然就太深了。)
:
: 從上面的課程布局來看
:
: 我也就不懂為什麼會有學完極式的高三學生跑來說高一教錯了的不一致行徑。
:
: 就以您提的例子來說明好了
:
:
: : 令 x = (-2)^(1/2)
:
: : 則 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i   （詳見99課綱選修上冊複數極式）
:  ^^^^
:
:  "則" 字在數學用語中，即含有 " 推論 " 的意思
:
:  而上面的兩句話，也就是代表
:
:  if x = (-2)^(1/2), then x^2 = -2 .
:
:  這部份，因為指數定律已經無法使用
:
:  那我們究竟要依據什麼理由才能做出這個推論 ?
http://ppt.cc/8SIB 文章前面我就有放了，

我就當做你有理解囉。


:
: : case 1. x = √2 i，則 x^12 = 64 > 0  （此過程是有問題的）
: :                       複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。
: : case 2. x = -√2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的）
: :                       複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。
:
:
: ---
:
: : 我前面講的是是否有某個東西的平方是-2
: :
: : 學生會不會有這樣的疑問：
: :
: : 為什麼"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"對，
: :
: : 而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"卻錯？
:
:   在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。
:

那把-2當做是複數去處理的時候，是不是有問題？

尤其在你能夠理解 (-2)^(1/2) 可視為 x^2 = -2 的兩根的時候。

: : 或者有這樣的疑問：
: :
: : 為什麼"x = (2)^(1/2) => x = √2"對，
: :
: : 而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"卻錯？
:
:   在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。

那把-2當做是複數去處理的時候，是不是有問題？

尤其在你能夠理解 (-2)^(1/2) 可視為 x^2 = -2 的兩根的時候。

:
: ---
:
: : 這邊值得注意的一點是，
: :
: : 課綱中提到底數為正的情況在於指數函數(而且還不能是1)，而非指數運算，:
:
: 幫補課綱原文：
:
: 要介紹指數函數（底數a>0,a≠1）的圖形與性質，包括：值域、單調性（嚴
: 格遞增、嚴格遞減）與凹凸性，這裡凹凸性僅做割弦在函數圖形上方的直觀介紹
: 即可。主要的指數函數為2^x 及10^x 。

謝謝。

:
:
: : 因此學生會不會有這樣的疑問：
: :
: : 既然指數底數在高中課程為正，
: :
: : 那為什麼"2^2 = 4 "對， "(-2)^2 = 4"也對？
:
: 由課綱的敘述可見，只考慮底數為正顯然是針對介紹指數函數的圖形時所用。
:
: : 又為什麼"[2^(1/2)]^2 = 2"對，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"卻錯了？
:                                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^
:                                     同上理由，指數定律在底數為負的時候
:                                     會出現問題，是故無法使用

那把-2當做是複數去處理的時候，是不是有問題？

尤其在你能夠理解 (-2)^(1/2) 可視為 x^2 = -2 的兩根的時候。

所以，這角度去看，哪邊錯？

整個高中課程唯一能夠去做處理的就出現在複數極式單元，

那你為什麼要一直扯指數定律在負的時候無法作用？


:
: : 但實際上真的是錯的嗎？
:
: 實際上，是對是錯，才疏學淺我也不敢肯定，但至少我從徹尾都沒說過"錯"

你是沒說過錯，http://ppt.cc/zbnR

只是你認為不正確的點，似乎不對吧？

:
: 只會告訴學生，在現行的數學架構下這部份會有一些我們還沒辦法處理的問題，等到
:
: 以後學得更多，有了能力之後，才能做適當的判斷。
:
: 但如果學生認為 "不選擇" = "錯"
:
: 那千萬要機會教育，不讓學生只會二分法 ---- 即不是對，就是錯。

這似乎不是二分法的問題，

而是該把「有問題」的部份說出來的吧？

-----

最後還是跟你抱歉一下，沒仔細去看而說你刪推文，很抱歉。

不過看在我按r都沒出現你之後的編輯文章害我很苦惱，

這事就請你原諒我吧。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.85.175.77
→ jollic:我的語句是用可以"直觀看懂"，所謂直觀並不代表是在數學上
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 00:00)
→ jollic:嚴謹的證明(或使用)，這中間該是有一個落差在。所以不要把
→ jollic:那四個字解讀成"我同意他是在數學上的合理敘述"
我沒記錯的話，

z = r e^(i(θ + 2kπ)) = r(cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ))

z^(1/n) = r^(1/n) e^(i(θ + 2kπ)/n)

        = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))

z^(1/n) 看成 x^n = z的根，這樣的問題在哪？

或者可以請你說明一下你是如何不同意的？

剛找了一下之前的書，如果上面看的很亂，

那就看一下這個吧 http://ppt.cc/uIo- http://ppt.cc/Ktbj http://ppt.cc/meFS

出處為  http://ppt.cc/pvAX
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:23)
→ jollic:為免討論鬼打牆，背景知識的基準點不同，這邊要麻煩您協助
背景知識不同？

我想我前面有提到了，當學生有問題時，

我能做的就是以現行能夠處理的複數極式告知不會產生矛盾的結果。

課綱沒說老師不能說明，你說是吧？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:38)
→ jollic:這邊會想問的就是複數底數z，可不可以apply一個有理數指數
→ jollic:接著就是為什麼要轉換成複數極式才能操作等等。這些是高中
http://ppt.cc/06Fd

你可以證明第三題。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:42)
→ jollic:教材中沒有的，這就是我說的從高中範疇去討論會有一些限制
→ jollic:及模糊的地方。假使能夠將這中間的論點、過程額外補充的清
我很疑惑你為什麼要一直強調高中教材有所限制，

但不否認的總是會有學生的需求不僅於此。

你只打算僅用高中範圍授課是你自己的事情，

但我想我做適當的補充，應該沒有阻礙到你吧？@@
→ jollic:礎，就是我前述的擁有更多背景知識之後便可以來判斷了。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:46)

更何況利用複數極式去思考根的情況，

本身就是可以考量學生情況而進行的。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:48)
→ jollic:有完整的論述後，去回答原題是對是錯我根本沒意見。但是用
何謂完整的論述，

若真的要完整，小學一堆題目都不能做了，不是嗎？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:49)
→ jollic:有瑕疵的方法(ex:直接視 (-1)^(1/2) = i 代入判斷)，就不妥
我哪邊有寫到這個？？@@
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:50)
→ jollic:針對性沒有這麼重，上例我沒有說你，我是說最早文章。
那也不是我寫的阿，

你要說那個有問題，為什麼不直接指出來呢？

我真的很不喜歡說有問題又不說明的。

這邊是討論版，不是用來說別人有問題後就跑掉的版好嗎？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 01:55)
→ jollic:總歸一句，拿一些數學界中是對的事實要學生接受，而該些事
→ jollic:實是在他課程學習範疇之外的東西的話，若沒有完整的講述該
→ jollic:事實的來龍去脈，那就真的很不對。
→ jollic:我前面的文章就已經有把問題寫出來了。
有興趣就可補充，想知道就可以補充，

只要學生願意且能夠理解就可以補充，

哪邊不對？

這邊還是請你說明一下何謂「完整的來龍去脈」

龍何來？  脈何去？

喔對了，你的直接指出來是第一天說有問題，2天後才說明@@
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 02:03)
→ jollic:我什麼時候說補充是不對的?   指寫下的每一個字都有其依據
→ jollic:是齁，好吧，我自認我第一天講得夠清楚了...
http://ppt.cc/zbnR

或許對你而言沒定義就是非常清楚的說明吧
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 02:08)
推 jollic:一開始的想法2，很顯然就是視(-2)^(1/2)=sqrt(2)*i，我下面
→ jollic:即說了i的定義及(-1)^1/2未有定義，我不覺得這樣叫沒說明
→ jollic:說沒定義之後還要說明什麼?為什麼沒定義嗎?理由等等課本都
→ jollic:有阿，老師不是應該早就看熟課本了嗎
是啦，但是我自己不會因為這樣說就把它帶過，

一個明明有的東西要說沒有，然後摸摸頭說你以後就會碰到了。

這樣是解決學生的困惑嗎？

※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 02:13)
→ jollic:因為有，而且剛好老師本人也很清楚了解，所以就一定要跟學
→ diego99:先睡覺啦！  晚安！  太晚睡了><
→ jollic:生解釋得清清楚楚才叫做解決學生的困惑?  我先前推文提到
→ jollic:我要視學生程度作補充，我上面形容的行為未必適用於每一人
→ jollic:另外，在原PO的問題討論中，本來也沒有加入學生的背景一起
→ jollic:討論，所以我也沒有要多對學生做什麼假想，在此批評老師的
→ jollic:教學風格，我也真無奈。
感謝你的批評，

你認為這邊很難向學生解釋是你自己的事情，

你說要有「來龍去脈」的向學生解釋也是你的事情，

畢竟你在這部份沒有仔細說明，

那我在這部份就先簡略向你說明好了。

回到複數平面，舉個例子：

我假設有個符號  z^(1/2) = 1/2 + (√3)i/2

於是 [z^(1/2)]^2 = -1/2 + (√3)i/2

所以 z^(1/2) = 1/2 + (√3)i/2 可看成 x^2 = -1/2 + (√3)i/2 的一個根

你可以先回答我上述是否合理直觀。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 09:36)
→ jollic:我有點累了，但基於禮貌還是回應一下。假設我是高中生，
→ jollic:第一行，要怎麼"假設"一個符號，它是什麼我都同意，這如同
→ jollic:我要假設 " 讚 = 100 " 也是沒意見。到了下面第二行開始，2
→ jollic:種認知出現。第1種:上面那個只是你所假設的符號，因此下面
→ jollic:的任何運算都是在你的假設世界中所成立的，所以要怎麼寫，
→ jollic:由一開始假設的那個人說的算。第2種:如果你假設的符號具有
→ jollic:數學上"數"的性質及涵義的話，那可以發現你的z^(1/2)是複數
→ jollic:，接下來的第二行(我想你這邊應該有筆誤)，那個"於是"是如
→ jollic:"於是"是因為複數作平方而得，最後再得到下面的結果。可是
→ jollic:你這邊的是用符號"z"做假設，這似乎不足以告訴我，我可以直
→ jollic:接將所有的z代換成 (-1) 之後，所有式子依然保持成立。

從這邊開始，

如果你有仔細看上面例子，

應該要知道上面的"z"目前再怎樣都無法被換掉，

那麼又何來 z 代換成 -1 之說？

→ jollic:因為z是符號，而(-1)是確實有其數學性質的"數"，符號可以任
→ jollic:意操作，但是換成"數"的話，就會有其該顧慮的事情
→ jollic:至於該顧慮什麼，即是當我把z換成(-1)以後，第一行即不是假
→ jollic:設，而會變成 (-1)^(1/2) = "某數"，而這邊的等號如何成立?
→ jollic:又或者說，因為那個某數正是我們想找的東西，所以我直接讓
→ jollic:(-1)^(1/2) 就是會等於"某個東西"，那OK。那接下來就是，第
→ jollic:二行的"於是"又是依據什麼才寫出來的，因為我不知道底數<0
→ jollic:，指數是有理數的指數，其二次方如何操作，又或是可否操作
→ jollic:以上。當然拉，我只是提出疑問，而這個問題的答案牽涉到您

不好意思，可能我資質太過駑頓，

你這邊讓我認為答非所問，你的提問也不是根據上面所講的。

我上面的問題應該沒這麼難回答吧？

尤其你這邊又跟我說底數<0，

還是你打從心裡認為 1/2 + (√3)i/2 < 0 ？


→ jollic:您在教學現場的"教導方法"，而教法是您的專利，我無意要竊
→ jollic:取，因此您沒必要將您的教學能力嶄露無遺。
的確是這樣，

所以我打算直接說結論，

實務上，對一個自然組的高三學生而言，

只要他能夠正確認識複數、複數平面、複數極式以及棣美弗定理後，

利用適當的引導與思考來去理解 z^(1/n) 是方程式 x^n = z 的根不是困難的事情。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 19:33)
推 jollic:假設有個符號  z^(1/3) = 1/2 + (√3)i/2
→ jollic:於是 [z^(1/3)]^2 = -1/2 + (√3)i/2
→ jollic:所以 z^(1/2) = 1/2 + (√3)i/2 可看成
→ jollic:更正：所以 z^(1/3) = 1/2 + (√3)i/2 可看成
→ jollic:x^2 = -1/2 + (√3)i/2 的一個根
→ jollic:故引導理解  z^( 1/a ) 是方程式 x^n = z 的根
→ jollic:在此例中，a=n+1 ；不過用相同的方法，可以推得a可以是任意
你好像不清楚什麼叫例子，什麼叫結論，

還是你可以直接將例子直接引導到結論？@@
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 19:52)
→ jollic:數，甚至是令a=i，整個推論都成立
→ jollic:那好吧，在上面"引導理解"改成"可利用適當的引導去理解"
→ jollic:"在此例中"去除，改成"其中"
推 jollic:假如你的適當引導中間沒有特別的技巧，我看著你給我的例子
→ jollic:我會理解成這樣：
推 jollic:等等，你的例子中 x^2 根本沒有等於 z 阿
→ jollic:回頭講我的理解
→ jollic:假設有個符號  z^(1/3) = alpha, 其中 alpha 是給定的複數
→ jollic:鬼打牆了，又打錯 = =
→ jollic:假設有個符號  z^(1/n) = alpha, 其中 alpha 是給定的複數
→ jollic:於是 [ z^(1/n) ] = alpha^2
→ jollic:所以 z^(1/n) = alpha 可看成, x^2 = alpha^2 的一個根
→ jollic:for all n in complex number.
→ jollic:= = ，往上數第三行又錯。是" [ z^(1/n) ]^2 = alpha^2 "
上述看你這樣打其實是有趣的，

我想這樣至少讓你去思考了。

我想問，你知道為什麼在課綱中要先解釋二次方根嗎？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 20:38)
→ jollic:我只知道我上面的結論非常詭異
但對我而言這樣的推論相當有趣阿，

然後，你知道為什麼我會要求對複數平面、複數極式與棣美弗定理有正確的認識？
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 20:45)
推 jollic:我不知道有不有趣，我只知道這推論中間一定有問題
→ jollic:我猜，我們的差異點就在於對這個問題之原因，解讀有出入
→ jollic:我的解讀，我認為我從頭到尾的文字已經講的很清楚了，所以
→ jollic:你再問我的話，你可能會覺得我在鬼打牆
→ jollic:因此我想請教你，這中間問題的原因在哪裡
複數極式（也可說複數的指數形式）在複數平面上的運作為何？

單位圓上的情況為何？  非單位圓上的情況又是什麼？

舉例-->延伸-->推論-->驗證
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 20:56)
推 jollic:如果您有職業病或是要如某版的ke大的話，那鬧劇就要落幕了
我已經說過了我的結論，

至於怎麼去解釋給學生當然是我的事情。

而你要認為這是鬧劇，請便囉！

只是我覺得好可惜阿...
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/09 21:25)