[分享] 複數極式與平方根

[diego99 (誰是我的小天使？！)]

指南針會告訴你方向，但它不告訴你如何到達目的地。

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在寫這篇之前：

感謝曾經對我的敘述做過批評的人，

因為這能讓我經由反思而得到更重要的東西。


這篇以高中數學能見到的範疇來做討論與分享，

先來看看這部份課綱給的方向是什麼。

http://ppt.cc/iZfA

二、三角函數

(前略)

複數的幾何意涵是以三角函數呈現，內容包括複數的極式與棣美弗定理。為了
處理 1 的 n 次方根問題，要複習正、餘弦函數的和角公式。

(中略)

3.複數的幾何意涵
3.1 複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義。
3.2 棣美弗定理，複數的 n 次方根，如：
  ◆(cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ) = cos(α+β) + i sin(α+β)
  ◆複數的 n 次方根僅談根的求法，以及複數的等比級數，......

(下略)

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這時候可以進入這文章的主題，討論複數的平方根。

為了處理平方根的問題，需要複習正、餘弦函數的和角公式，

如 sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
   cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ

可用來說明棣美弗定理的使用；

再說明 (cosα + i sinα)^2 = cos(2α) + i sin(2α) ，

除了這些之外，還有一項是很值得去複習的：

複習 α/2 可以在哪個地方(如101學測第12題第5個選項)。

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平方根的問題是有趣的，

在國中階段，我們被告知正實數有平方根，而負實數沒有，

到了高中剛開始不久的階段(多項式方程式)，

我們知道了負實數也能有平方根，

如： x^2 = 1 => x = ±1; x^2 = -1 => x = ±i 。

求知若渴的我們就會想問：「不是零且不是實數，會不會有平方根？」

在高中階段提到非零又不是實數，唯一能想到的就是非零的複數，

於是問題就被自然的轉換成「非零的複數會有平方根嗎？」

如： x^2 = cos(0度) + i sin(0度)，
     在複數平面上能否依據前述找出適合的根；
     x^2 = cos(180度) + i sin(180度)，
     在複數平面上能否依據前述找出適合的根。

那麼，x^2 = cos(60度) + i sin(60度)，在複數平面找出的根又是如何？

藉由這些或者更多的舉例，

我們已經可以知道除了實數的平方根有兩個之外，

複數的平方根「理應」也是會有兩個，

甚至能觀察到這兩個根「理應」是一個圓上的直徑兩端點，

接著自然能進行後續的驗證步驟，

甚而繼續進行處理更高次方的根。

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分享一題我在101學測前出給學生練習的題目

http://ppt.cc/ekCD

這題，你們會用 A -> B -> C 的方式去找，

還是用 C -> B -> A 的方式找呢？  :)

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本篇的最後，為了避免有人過度和我討論定義的問題，

還是說明一下「定義」在一篇文章與著作中的功能是什麼：

在大部分的文章與著作中，

無論是符號的或者敘述上被定義，

多是作者為了使讀者有相同的共識，

因而能妥善介紹作者想告訴給讀者的資訊，
(所以會常有明明敘述的是相同的事物，A書和B書的「定義」卻不相同的狀況。)

甚至可以觀察到，多數情況的符號並非是真的被定義出來的，

而一個符號讓大部分讀者都獲得相同共識的時候，

自然就會被沿用下去，如：i, e, π...等。

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◆ From: 219.85.175.77
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/11 17:51)
推 arist:自編題不錯
推 hnxu:這題是多選嗎？
→ diego99:單選
→ ERT312:用 A -> B -> C 可以確定答案是 4;用C -> B -> A 可以猜出
→ ERT312:答案是 4
推 Kodaira:國中只教實數 在實數中負實數的確沒有平方根
→ condensed:應該是說沒有實根
→ condensed:自編題設計很好
推 ERT312:其實可以出得更狠一點，用C -> B -> A猜不出答案
願聞其詳。

話說為什麼 C -> B -> A是猜的？

我原題目也只問哪個可能是而已阿@@

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其實我原本出題的想法是用負70度->負140度->負280度去出的XD

所以C -> B -> A反而是學生問我能不能這樣去想。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/15 01:17)
→ ERT312:若沒會錯意，C -> B -> A是指用開根號角度減半的方法
→ wayn2008:我覺得應該是因為 同界角減半或*1/4時無法確定哪個答案
→ ERT312:但是開根號會有兩個答案，一個是角度減半，另一個差180度
→ condensed:z的角度有限定在360以內嗎？
廣義角即可

400度 -> 800度 -> 1600度
 40度 ->  80度 ->  160度

→ wayn2008:有點像是101學測12.(5)選項 cos(theta/2)<0無法判定
我文章內就有提到這一題了。

→ ERT312:也就是在對稱原點的對面。但是平方角度兩倍沒有這個問題
→ ERT312:這一題剛好使用C -> B -> A來看，也只有第四選項符合
所以在這題的情況下，C -> B -> A就不能說是用猜的吧？

反而我是相當贊同他用這方式選擇了應該選的答案。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/15 01:29)
→ condensed:我是用ABC看的欸　0.0
→ wayn2008:A>B>C沒同界角問題 因為360*2 或*4都沒差~
→ wayn2008:C >B>A 360/2 或/4 就會多了好幾種情況去猜想
→ wayn2008:不過老實說...我是先用B>C 再用A>B得到答案的...
→ wayn2008:sorry~~後來沒再重頭看過 沒注意到XD
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/15 01:35)
→ wayn2008:光是看到(1)B在第一象限 就直接用他找反而刪去123選項XD
讚唷！  XD
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/15 01:35)
→ condensed:怎麼不把A設定在第二象限呢？
只是很單純的不希望題目太複雜，

畢竟是學測前給學生的練習。
※ 編輯: diego99         來自: 219.85.175.77        (11/15 09:44)