[心得] 國一上第三章「一元一次方程式」

作者oodh (oodh)

看板tutor

標題[心得] 國一上第三章「一元一次方程式」

時間Wed Jan 29 00:19:49 2014

一、化簡、求值、求解之區別。 1) 若 2(x-3)-(2-x) 是 3，那 x=_____ 答案要填什麼呢？ 2) 若 x = 5，2(x-3)-(2-x) =_____ 那這個呢？ 3) 2x+1=5, 2(x-3)-(2-x)=____ 4) 2(x-3)-(2-x)=ax+b ，a=___ b=___ 在這一章，我們對於未知數有三個使用的方法，許多學生並沒有清楚地分辨「化簡」、「求值」和「求解」我們可以這麼想，一包餅乾的價錢 x元，我不知道那實際上是多少錢，然後你跟我說你的錢買兩包還多三塊，那是 2x+3 ；然後小明說他的錢是你的兩倍，那是 2 (2x+3) -- 這樣我還是不知道小明有多少錢。本來呢，一個「根本不知道」的東西是很難去思考的；但透過了設出未知數 x ，我可以把你的錢以 2x+3 來表示、把小明的錢用 2(2x+3) 來表示 -- 這樣就叫作「x 的多項式」。也就是說，「多項式」是用來把一個不知道是多少的東西 (你的錢、小明的錢)，用另一個未知的東西 (餅乾價錢 x 元) 來表示的方法。那如果我今天知道了，餅乾一包是 10 元；我可以知道你的錢是 23元、小明的錢就是 46元這個「把多項式之中， x 用某個數字代入，以取得整個多項式的值」的計算過程，就叫作「求值」那如果今天，我仍然不知道一包餅乾是多少，但是我無意間發現你的錢是29元；於是我就想 2x+3 = 29 的話， x = 13；結果我就算出了一包餅乾原來是 13 元。像這樣，「已知多項式的值，回過頭來求 x 是多少」的這個計算，就叫作「求解」。而上面這個「 2x+3 = 29 」就被稱為是「方程式」而 2(2x+3) 被整理成是 4x+6，的這個行為，叫作「化簡」許多學生會取巧用「有等號就是方程式」的方式去記憶，於是上面那四題裡面，第一二題的題目都有等號，第四題沒有，他們就會搞混。其實老師、家長們在教的時候，不應該讓學生把「數學算式」和「思考邏輯」分拆開來；也就是說，要讓學生懂得去看題目、想想題目這時候要問的是什麼，而不只是去記住「有等號就是方程式」這樣以第一題為例，雖然題目上有等號，但它講了「若 2(x-3)-(2-x) 是 3」，然後問你 x 是多少，這就是方程式求解。「是」這個字，本身就具有「 = 」的意義；所以就是求解 2(x-3)-(2-x) = 3 再來看第二題，逗號前面說了 x = 5，接這問你 2(x-3)-(2-x)是多少；這就是「多項式求值」；所以把 x 用 5代入就可以了。在這裡，大家應該慢慢地了解到，「逗號」前後可能是兩條式子，這兩條敘述句都要成立。在國一，題目不會太難，所以多半前面那句會是後面的「前提」，也就是「提示」。於是再看第三題，同樣的，這題也有兩句「2x+1=5」如果這句的等號會成立，那我們就可以把 x 給解出來 => x = 2 這樣的話，你就會發現後面這句「 2(x-3)-(2-x)=____」，其實又是要我們代入「求值」的問題。第四題對於國一的同學來說，就滿困難的了 -- 它不是超出範圍，而是很難想到它在問什麼。同樣題目有兩部份，後面那部份就是在問 a 和 b；而前面看起來有點像是方程式。但，我們怎麼可能知道 2(x-3)-(2-x)=ax+b ，解出來的 x 是多少呢？所以我上面就說明、提醒了，我們「不能只看 "有沒有等號"」；它要「給你一條方程式，然後問你 x 其實是多少」，那才是方程式的「求解」。第四題並沒有要問你 x是多少，它並不是要你求解方程式。題目說 2(x-3)-(2-x)=ax+b，我們可以把左邊整理一下，變成 3x-8 = ax+b；然後就會發現 a= 3 ，b= -8 也就是說，這一題其實說穿了，是在考大家「化簡」；但是題目換個方式問， (有一點像是在考驗學生的文字、符號理解能力) 不問大家「化簡之後會變怎樣的多項式」，而是說「如果化簡完成後，會變成 ax+b，那 a 和 b 分別是多少」 (還有更拐彎抹角，問 a+b 是多少的) 所以說，一個問題現在到底是要我們「化簡」、「求值」，還是要「求解x」，不能單看「有沒有等號」；一定要帶學生們去想清楚題目的意思，根據當下的題意來判斷。「化簡」和「解方程式」還有一個很大的不同；就是方程式基於「等量公理」可以等號兩邊「同乘 or 同除」，藉以消去分母、把係數變成整數；但，化簡」不行。因為一但除了、乘了，整個多項式就變成了數倍，就不是原來那個多項式了；所以化簡的時候只可以「通分」或「提出公因數」。這個道理，也是為什麼「方程式計算，每行前面不能放 " = "，要放箭頭」的原因 -- 同同乘、同除後，就不是原本那條多項式了，所以不能說它們相等。二、分配問題分配，就是「除法」。在國小的時候，我們用「被除數」除以「除數」 = 「商」 …………「餘數」來描述分配。在學過方程式之後，因為那個「………餘」不能拿來算；而且對大部份的學生來說，乘比除好算、加比減好算；所以我會建議我們改寫成：「被除數 = 除數 x 商 + 餘數」所以說， " 老師分糖果，每個學生拿6個還剩三個 " 這個描述要列式，第一思考的是「誰被誰分」-- 誰是除數？誰是被除數？也就是是「一個學生會分到很多糖果」，還是「一個糖果會分到很多學生」？於是我們會發現，學生是除數，糖果是被除數。所以「糖果數 = 學生數 x 6 + 3」，如果學生人數是x，那糖果有 6x+3 顆；如果糖果有 x 顆，那學生有 (x-3)/6 人 <需整除> 有時候不能只依賴中文的用字；比如說「學生分班級」，說是說「學生」去「分班級」；但其實一名學生只會有一個班級，但一個班級卻會有很多學生。所以學生其實是「被分」，是被除數。所以一定要稍微想一下「誰才是除數」三、追及問題甲追上乙、乙追上甲，或是甲乙相向碰頭，許多學生看到這種問題，總會有一種「哦，我好像知道是怎麼算」；但最後算出來卻又未必會對、甚至真的要寫式子的時候又不見得寫得出來。會有這種現像的原因，是因為大家都用「不只一種角度」在看待這些問題，卻又沒有把這些角度想個清楚、就又換另一種。比如說，甲追上乙，所以可以「設甲的速度比乙的速度多 x」但你一這麼做，「時間乘以 x」就不是「甲走的距離」也不是「乙走的距離」；而是「在特定時間裡，甲追趕乙、甲比乙多走的距離」 -- 但又不一定就是題目一開始甲乙之間的差距，要看題意…… 總之，時而在「甲速度乘上時間 = 距離」，時而在「甲比乙快的速度乘上……」時而在「但是乙比甲前面……」這幾種想法裡切換；一覺得好像有點難想，就又換了一個角度而不自知；於是學生一條方程式裡面，這個和那個多項式是用不同的設想角度列出來的，這樣就會錯 -- 而這往往就是最後寫出來的式子不正確的原因。所以在這裡，有熊老師建議大家這麼想：追及：就是「同一個時間」在「同一個地點」如果，出發時間相同，就是「經過了相同時間」如果，出發地點相同，就是「行經了相同距離」想清楚了這點，再利用「(行經) 距離 = 時間 x 速度」來列式；或是用「所在位置 = 起跑點(離原點多遠) + 行經距離」來列式也行。總之就是要想清楚現在的條件，和所選擇用來列式的思維。 4. 應用問題求解流程在之前的網誌裡，我們說到了「設未知數不是為了 "求解"；是為了方便思考」許多國一學生不懂這點，所以一心只想記住最好的「設法」和「列式方法」，於是很多題型記了又忘；所以我都會在國一上，就直接教學生，可以設出不只一個的未知數，然後透過置換，「將其他的未知數，都以x來表示」詳細的流程，我附一張表在這裡；http://ppt.cc/x7Nq 不過如果看這張表，還不太懂的話；這有點一言難盡，建議看看底下第 28 集的連結。 5. 消失的未知數在國一上的這章裡，有些題目其實根本不只一個未知的東西，只是因為一些竅門，使得它「看起來可以只設一個未知數」。其中一種情形，便是有的時，第二個未知數會被「約掉」 -- 真的要把題意想清楚的話，其實應該是要設兩個未知數去想，但題目最後問的答案，在計算過程中，會把其中一個未知數「同除」而約掉。這導致正確解答看起來，這題好像只需要一個未知數就可以 (甚至是不需要未知數也可以)。但其實，如果只設一個未知數，等於是要把另一個未知數「沒有理由地當成 1 」 -- 這是一種實用，但是我不建議的做法；如果讓學生習慣了自行沒來由地去設數字，之後的數學很容易會一直學不好。因為學生很可能會只要一遇到難題，就把腦筋動到「那假如我把這個當成1」這樣去想；反而變成，老師的講解他沒有聽進、他在想著是不是有更簡單的算法 -- 但是這些算法通常都是錯的。這樣的問題，在國中常見的有四種，一種是「男女分工、合工」問題 (總工作量被省略)，一種是「商品打折」問題 (原價被省略)，一種是「等距來回」的問題 (距離被省略)，和「蠟燭燃燒」 (長度或時間被省略)的問題；本篇的 FB 網誌版在此：https://www.facebook.com/notes/524431487664664 以下附錄各集的影片連結【為什麼要學數學？】有熊老師陪你教數學國一上第1集 http://www.youtube.com/watch?v=qMsj4MyT_ns

【設未知數，不是為了求解】有熊老師陪你教數學國一上24集本集：「為什麼要「設x」？」、「等量公理 & 移項」 https://www.youtube.com/watch?v=JM7PY87sdhs

【生活中的方程式】有熊老師陪你教數學國一上25集本集：「在活中各種數值的 "關係"」、「打八折再加兩成 vs 加兩成再打八折」 https://www.youtube.com/watch?v=fRTXQ6uVjnQ

【數學常識衍生的方程式】有熊老師陪你教數學國一上26集本集：「數學常識衍生的方程式」、「達文西、莫內」 https://www.youtube.com/watch?v=6FQz9OKefIk

【多項式化簡 vs. 方程式求解】有熊老師陪你教數學國一上27集本集：「多項式化簡、求值、方程式求解之差別」、「抽獎時先抽好？後抽好？」 https://www.youtube.com/watch?v=Ca1LwoMASXE

【一元一次應用問題】有熊老師陪你教數學國一上28集本集：「應用問題解題流程」、「正派直銷 vs 老鼠會怎麼分辨？」 https://www.youtube.com/watch?v=0mAuad0sO9o

【分配問題】有熊老師陪你教數學 (國一上) 第29集本集：「分配問題」、「何謂 "保險" ？」 https://www.youtube.com/watch?v=PKW0mWf2VSw

第【進階應用題】有熊老師陪你教數學 (國一上) 第30集本集：「追及問題」、「無尾熊koala」 https://www.youtube.com/watch?v=LWaidjmfIKg

【一元一次特殊題型】有熊老師陪你教數學 (國一上) 第31集本集：「特殊題型說明」、「印象派眾畫家」 https://www.youtube.com/watch?v=FvBGY7rweTA

【消失的未知數】有熊老師陪你教數學 (國一上) 第32集本集：「未知數「出現了又消失」」 https://www.youtube.com/watch?v=5Wq-pjRy4UE

-- 有熊老師陪你教數學 (影片放在youtube頻道) YouTube 頻道 http://www.youtube.com/channel/UChi0FIp45pS48dlOUH2U4WQ/ Facebook專頁 https://www.facebook.com/Teacher.Koala 歡迎前來分享教學心得 (也可以來問問題喲~~) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.235.204.252

推 tzhau:考卷上第四小題就只敘述這樣，如果我是國中老師在閱卷我一定 01/29 00:33

→ tzhau:送分，因為光題目這樣敘述出在國中會很莫名其妙為什麼光憑 01/29 00:34

→ tzhau:題目這樣簡短敘述，a就一定3，b就一定為-8? 學生根本沒有 01/29 00:35

→ tzhau:從題目敘述看出恆等的觀念 01/29 00:35

推 shenasu:第四題沒有定義ab是甚麼會有無限多解但一定義了 01/29 00:51

→ shenasu:就不適合國一生了 01/29 00:51

→ s00459:多項式是這樣定義的嗎 =.= 課本稱代數式挺好的啊 01/29 20:54

→ s00459:第四題的解釋真的好囧... 01/29 21:05

→ s00459:第4題如果後面是接x=＿是不是又變另外一種解釋了 =.= 01/29 21:15

噓 TizzyBac5566:無聊沒人不會教這個好嗎 02/01 03:39

推 KDDKDD:樓上好嗆好會教呀@@"(話說本版沒禁2劣文喔) 02/01 08:29

推 diego99:請Tizzy先生分享一下這邊你是怎麼教好嗎？ 02/01 10:07

推 KDDKDD:一元一次是學生第一個正式碰到有關未知數的單元我反而覺 02/01 12:54

→ KDDKDD:覺得不好教說... 02/01 12:55

推 microscopy:現在非都市的學校有的一年級數學平均都3X 02/04 17:30

→ microscopy:恐怕還是很難了解的，，，， 02/04 17:31