→ XII:由圖可看出在a/b,c/d(bc-ad=1)之間(a+c)/(b+d)分母最小 03/12 18:40
※ 引述《chliao2006 (chien)》之銘言：
: Let n be a fixed positive integer,
: and suppose we list in increasing order all numbers a/b ,
: where 1 <= a,b <= n , and the fraction a/b is in lowest terms.
: Show that if a/b and c/d are consecutive fractions in this list,
: then bc - ad = 1.
圖形的證法
設 a/b < c/d 為相鄰最簡分數
令 O(0,0),P(b,a),Q(d,c),則 a/b=m(OP),c/d=m(OQ)
若 △OPQ 除 O,P,Q 外還有格子點 M(x,y)
因 a/b,c/d 為最簡分數, 故 M 不在 OP,OQ上
則 1≦x≦n,1≦y≦n,且 a/b<y/x<c/d,不合
故 △OPQ 無 O,P,Q 外的格子點
由 Pick 公式
因 △OPQ 面積 = (1/2)(bc-ad) = 內部格點數+(1/2)邊界格點數-1=0+(1/2)(3)-1=1/2
故 bc-ad=1
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※ 編輯: XII 來自: 140.115.31.174 (03/12 18:32)