[解題]103年高中全國公私立第一次模擬考數學科

[tonyhappyboy (小艾)]

設a,b,c為相異三實數，且

f(x)=(x-a)(x-b)(2x+5)/(c-a)(c-b) + (x-a)(x-c)(2x+5)/(b-a)(b-c)

     + (x-b)(x-c)(2x+5)/(a-b)(a-c) - x^3

則 f(x)除以(x+2)的餘式為何？   Ans: 9


【解法】f(a)=2a+5-a^3   f(b)=2b+5-b^3   f(c)=2c+5-c^3

        求f(-2)=2*(-2)+5-(-2)^3=9

        可是這樣的解法我有點心虛   主要是恆等定理

        f(x)=2x+5-x^3  有三根a,b,c  並不能說f(x)恆等 2x+5-x^3 (三次)

        因為三次的話應該要有四個根才行   不知道還有其他條件我沒考慮到嗎??

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推 hnxu: f(-5/2)=-(5/2)^3=2(-5/2)+5-(-5/2)^3
→ tonyhappyboy: 懂了   非常感謝
推 XII: 1F的方法還需a,b,c≠-5/2
→ XII: f(x)=(2x-5)Q(x)-x^3(Q(x)=1 by 恒等定理)
→ XII: f(x)=(2x+5)Q(x)-x^3(Q(x)=1 by 恒等定理)