Remark: 人老了之後, 真的變得囉唆而且狗腿了 ... 滷教授
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關於墊牌信號 -- 謹答沈大國手 楊柏因, 陳君明
陳君明在中橋 461 期的『與世界冠軍為伴』文中提到: 他已接受 Eric Rodwell
勸告而棄奇偶墊牌 (Odd-Even first Discard: 第一次機會中墊出奇數號碼小牌
表示歡迎墊的花色, 偶數號碼的小牌則為對另外兩門的花色選擇) 不用。沈治國
大國手則在中橋 468 期的『沈三異言堂』中, 提出他支持奇偶墊牌的一些理由,
並批判陳文『可惜只見結論 (放棄奇偶墊牌) 卻未述及原因』。陳君明的原文以
敘述和 Rodwell 搭檔打牌的故事為主, 沒有篇幅詳論墊牌信號這個複雜的課題,
所以請容我們以這篇文章做一些補充, 也希望沈大國手能對小學弟們不吝賜教。
沈大國手以傳達訊息的多寡, 隱密性, 和損失贏墩的機率來評量奇偶墊牌 (OE),
花色選擇 (LAV), 和態度信號 (ATT) 等常見的 (註1) 墊牌信號系統 (第一次的
墊牌機會中, 出每張牌所代表意義的約定)。限於篇幅, 沈大國手也沒能就他提
到的每點仔細討論, 那讓我們替讀者簡介一下墊牌信號的理論之的種種吧。
沈大國手的主要論點如下: [(A) 是討論信號的解析度 (resolution); (B) 是討
論防家所面對問題的複雜度 (complexity); (C)(D)(E) 則考慮信號系統的缺陷:
(C) 是死角 (blind spot), (D)(E) 則是使用信號的代價 (cost)。]
(A) ATT 只能打出 4.5 個信號, LAV 能打出六種, OE 更多。
(B) 防家需傳達的主要訊息只有三個, 而表達方式是 LAV 彈性最大。
(C) OE 有時候會打不出適當的訊號, 這是美國專家心目中 OE 最主要
的缺點; 相對的, 有時候 OE 在打信號時的彈性比較大。
(D) ATT 最容易, LAV 次之, 而 OE 最不容易因打出信號而損失贏墩。
(E) 打 LAV 最容易讓莊家免於猜測, ATT 次之, 而 OE 隱密性最高。
□ 解析度 (resolution), 或防家能傳送的總資料量:
沈先生說: ATT 只能打出 4.5 個『完整的』訊號, 比 LAV 能做的『六個』信號
少; 打 OE 的人可以用每一張小牌打出一個完整的信號, 所以在有七張以上的小
牌, 就能 (做出七個信號, 從而) 打得比 ATT 和 LAV 更清楚。沈先生說不歡迎
某一門花色只能算『半個訊號』這個論點, 我們看不太懂 -- 有誰在討論第一圈
的態度信號時, 把跟歡迎算一整個信號, 跟不歡迎只算半個嗎? 就我們所知, 信
號的解析度也沒有別人這樣算。資訊理論 (information theory) 可以精確定義
一個數字代表信號內涵的資訊量(註2), 而用盡量簡單的文字敘述來說就是:
有效的信號數, 就是我可以出的牌張中, 能有效區隔成『我知道你知道
我知道』(只有『我知道你知道』是不夠的!) 可以被你正確判讀的子集
合的總數。[這裏的『有效』區隔是打信號者不只有送出每一類 (子集)
中至少一個信號的能力, 而打出信號前, 必須先確知接收者有能分辨每
一信號屬於哪一種類, 和知道打信號者有送哪幾類信號的能力(註3)。]
這樣說來 ATT 或 LAV 的解析度很容易計算。兩張小牌就可以選擇跟大或小, 而
同伴可以辨認所跟的是大或小的機率很高。如果有三張小牌, 就幾乎不會發生無
法判讀大小的情形。所以有三門花色可以墊時, 有效的信號數很接近六 (註4)。
OE 呢? 照字面上的意思, 就只在有三門花色中選一門歡迎, 所以有效的訊號數
是三, 不是嗎? 對, 打 OE 時如能區隔在墊出某一門奇數號碼所打出的歡迎信號
和別門墊出的偶數號碼打的花色選擇作, 那有效的信號數也就是六了。理論派的
讀者不妨試驗看看, 保證您會因為防禦誤會跟同伴槓起來。OE 的解析度為什麼
會比 ATT 低呢? 簡單說來是『相對的信號優於絕對的信號』的緣故。
什麼叫做『相對』和『絕對』的信號? OE 用奇數偶數區隔, 是事前設定好的子
集合(註4)。換句話說, 信號的有效成份會隨每一牌而變化。如果設定這些子集合
時能把夢家牌和莊家的叫牌考慮進去, 信號的效率會提高, 但因記憶力和使用的
問題, 要在未知牌情時先設定每一張牌的意義, 那就難免會造成重覆與有缺漏。
在 OE 中一門花色的每張奇數號碼是等價的, 多拿並不能增加選擇權; 用一門中
唯一的偶數小牌打訊號經常會被莊家干擾而造成混淆, 超過兩張偶數小牌也不會
讓選擇權增加。有時使用者不敢以容易混淆的偶數號碼來打花色選擇, 更會減少
有效的選擇。最慘的, 一門若只有兩張小牌時有 5/18 (>1/4) 的機率都是偶數,
就打沒法打出歡迎這一門的信號; 如果都是奇數, 就打不出不歡迎這門的信號;
一奇一偶呢? 可能一半情形不敢拋出那張偶數 -- 10 跟２只能分別在歡迎高位
和低位花色時出, ６可能根本不敢用。就算三張號碼, 也不能要求每次都正好是
10７２的完美組合吧 (換成７６２就有點…)?
這到底可以有幾種信號呢? 其實用電腦發牌來實驗是最方便的了, 但幾十年前還
沒有電腦的時候 Slawinski (註4) 就真的用手去實驗了! 他的結論是, 考慮到
有些花色是不能墊的, OE 沒法清楚的打出四個訊號, 而以大小來當作信號內容
的系統 (例如 ATT 或 LAV) 可以在正常狀況下打出(傳送)五個清楚的訊號。
□ 複雜度 (complexity), 或防家所需的信號數:
解析度討論完了, 讓我們看一下問題的複雜度吧。如果防家實際上只需要用三個
信號就能夠滿足防禦的所有需求, 那麼本來也就不需要解析度這麼高的信號, 但
橋藝理論家們 -- 不論 Journalist (Stern/Rosler/Rubens), Woolsey, Miles,
未寫專書的 Rodwell/Martel, 或非美國人如 Slawinski -- 都口徑一致的強調:
OE 的致命傷是無法傳遞字面意義以外的消息。(Woolsey)
或是說:
OE的最大缺點不是因為可能打不出信號, 而是因為同伴不容易
判讀出完整的號碼組合, 所以只能就字面意義打三個信號; 也
就是它的 resolution 小於 ATT 造成缺少彈性。(Slawinski)
字面意義以外? 對, 看過『及時轉攻』吧? Granovetter 的書在教育心理學上大
概不及格, 但是基本概念很清楚: 某一門花色的歡迎或不歡迎訊號可經約定、默
契、跟常識與邏輯『編碼』之後, 轉成有關於別門花色的訊號, 而且這動作可以
在每一牌的防禦過程中完成, 不需要對每個狀況個別約定。
缺少彈性又是怎麼回事? 我們看一段 Marshall Miles『防禦信號』143頁上的話:
… 假設只有一門可以墊, 打羅馬式墊牌 (OE) 的人可能找不到合理的號
碼。當然任何信號系統都會因號碼不對而陷入困境, 而[OE]中有多種方法
來作同一個信號, 所以當目標只是要歡迎某一門花色, 通常還是找得到適
當的牌來打信號的。用[OE]偶爾打不出正確的信號並非它最致命的弱點!
有時您不想打出指定方向的信號, 而希望同伴自行判斷 (當然這『不打信
號』其實也就是一種信號啦), 但打羅馬式的人就無法拒絕打信號, 而三
選一花色選擇這種機械動作, 也限制了某一些更細膩的訊息傳遞方式 …
我們把這段話解釋得稍微詳細一點的吧! 除了現在正在打的那門牌之外的三門花
色, 一般說來並非完全等價的。也不是每個信號都是標示贏墩來源的 -- 也可能
是擋張, 快橋引, 或同伴可放棄的花色。從夢家牌和叫牌 (不應含手上的牌, 因
為同伴無法在看信號時先知道) 經常可合理地預設同伴會想知道某一門 -- 所謂
『顯應轉攻牌組』(Obvious Shift Suit) -- 上積極的轉攻會不會吃虧, 這時候
您手上是沒有大牌、有Ｑ、有Ａ或Ｋ (甚至兩張以上的大尊張 top honour) 就
變成不同的歸類; 有時叫牌和夢家的牌告訴我們, 同伴可能必須得在兩門中選一
門轉攻; 由於我們不知道同伴在這兩門花色究竟持有什麼東西, 單獨一個命令式
的『請攻這一門』信號是不夠用的, 甚至三向的信號都有匱乏之虞!
換句話說, 這裏『缺少彈性』不是跟沈先生說的相同涵意, 而是指打信號過程的
complexity 太高, 需要傳送太多種訊息, 而 OE 受限於 resolution 無法負擔。
□ 將信號的 resolution 配合 complexity 在實戰中編碼?
Kit Woolsey 的『作伙來防禦』(Partnership Defence) 或 Marshall Miles 的
『防禦信號』(Defensive Signalling) 等好書裏面都提供必要的說明。原則上,
當有一門關鍵牌組的時候, 歡迎關鍵牌組的訊號, 是表示有可以支持的大牌; 不
歡迎該門的訊號則除了警告同伴不要亂捅以免吃虧外, 也否認有快橋引或穿梭的
可能; 在歡迎另外一門表示可藉以穿梭的(快)橋引; 不歡迎另一門則是中性的意
思。一些比較特殊的訊號, 例如歡迎不可能轉的牌組, 可能是在提醒同伴有奇怪
的事情發生了。對桌上的ＡＫＱ的牌組打全世界都知道的不歡迎, 則可能是表示
其他的每一門都有一些東西, 等等。每一付牌可能都有它獨特的狀況, 防家必須
警覺的參考夢家, 和之前的手順以及叫牌, 才能決定每一張牌可能代表的意義。
例1
S:K865 南家開 2NT (20-21)-3NT。西家首攻黑桃Ｊ到莊家的Ｑ, 沒攻
H:983 中, 但還得繼續防禦。莊家打方塊ＡＫ, 第三圈到西家Ｑ, 原
D:743 為Ｊ小的東家此時每張墊牌應該表示什麼呢 (假設跟小歡迎)?
C:Q84
北 顯然要打垮合約需要紅心或梅花贏張 (註5)。此時如東家拋小
西 東 梅花, 西家應該當它是表示梅花橋引而不是贏張。橋引?? 對!
南 東家紅心該是類似Ｑ帶頭, 希望同伴傳橋過來穿梭莊家的Ｋ。
相對的, 東家墊張小紅心就該是要求攻擊梅花, 並持有紅心橋引; 拿梅花 AKTx,
就墊出最大的紅心 (紅心 KQxx 沒有梅花大牌就墊出大梅花!); 墊黑桃表示異常
狀態。如果只能做出單一的信號, 拿了紅心ＱＪ10和梅花Ａ就有點痛了, 因為打
歡迎紅心的信號而同伴拔紅心Ａ的話, 就讓莊家摸走一局了。沈先生的『死角』
-- 打不出三個信號 [前面的論點 (C)] 並非 OE 要擔心的主要問題 (Miles):
打 OE 時因為墊某門奇數號碼所打的歡迎信號, 和別門的偶數號碼打的
花色選擇不易作區隔, 所以防禦不容易跟打ATT時做到同樣細緻的程度。
例2
S:KQT54 南北家叫牌是 1D-1S; 2D-3D; 3N。西家首引紅心４到Ｑ與Ａ,
H:97 莊家打方塊Ｑ並續頂一圈到西家Ａ, 此時東家墊牌的意義是?
D:K85
C:JT6 關鍵張是還沒定位的紅心Ｋ。如果在東家, 就該甩出一張大梅
北 花, 表示他希望首攻人續攻紅心而對轉攻沒有興趣。如果他沒
西 東 有ＨＫ, 就可能需要穿梭莊家的紅心Ｊ, 所以歡迎黑桃、梅花
南 就是應該有那門上的橋引。但是如果他拋掉一張小紅心呢？
如果讀者您學的信號類似我們, 這應該是 present count (還剩下三張), 但必
定有梅花贏張的同伴, 為什麼不歡迎梅花? 顯然他的梅花是可能要吃的長度, 因
此同伴是 Qxx 以上就要撞出來。甩掉黑桃Ｊ? 這有很多解釋, 不過絕對不尋常。
最可能的是東家有五張紅心, 希望同伴有紅心Ｋ就拔。順便請讀者想想看: 不歡
迎黑桃的信號可能包括有什麼意思, 和持有兩門黑花Ａ該怎麼打信號。
另一方面, 防禦上的問題並不在第一張墊牌出來後結束。3NT 的防家經常要在莊
家拔贏張時的同時做到: 留下足夠的贏張; 守護各門莊家可能發展贏墩的牌組;
和提防莊家的終局打法。很多牌情需要靠好幾墩間的跟牌順序來表示。OE 的第
一張墊牌與所持有的號碼頗有關係, 這個隨機性更減少了傳遞消息的管道。好防
家都知道, 先歡迎某一門然後繼續在這一花色繼續扔牌, 一般是表示Ａ (最快的
橋引), 而持有Ｋ或ＫＱ帶頭時, 則可以用其他的墊牌順序來表示。簡單說就是:
首次墊牌只有三方向會經常不夠處理較繁複的防禦中, 可能需要的多層級區隔。
例3 (後續出牌的問題)
S:A4 1NT-3NT 之後西家首攻黑桃５到Ｋ, 東家續攻黑桃７到Ａ,
H:Q86 西家跟３。莊家拔方塊Ａ、Ｋ、Ｑ ... 東家如何墊牌呢?
D:KQT54
C:764 西家很可能需要考慮留牌的問題。東家如有紅心或梅花Ａ,
北 應該在第一時間作出信號, 以方便同伴留牌。如果不是快
西 東 橋引, 就在別門打不歡迎的信號較好。[這裏莊家拔方塊時
南 該讓長門黑桃的人先墊 (第二圈手上吃) 才對, 要注意!]
但是更重要的: 如果是紅心Ａ, 應該盡可能的再多拋出第二張紅心, 表明手持的
是Ａ而非ＫＪ。如果拋過之後一直不肯繼續再拋, 就要考慮是沒有閒張的狀況。
□ 使用信號的代價 (cost) 與其他
沈大國手的論點(E)說: ATT 經常必須在要吃的那門打信號, 所以容易損失贏墩;
OE 則有較多張牌可以出, 而打信號通常都是小牌所以不易損失。我們只想指出:
其實從前一節可見, ATT 墊出歡迎的信號也通常不是真正要吃的花色; OE 也有
很大機會必需把歡迎信號做在本門, 所以他所謂的損失多半可以減到最低限度。
那就剩下(D)了: 沈大國手認為打 OE 的淨結果對他最有利, 這我們可不敢跟大
國手多爭論, 實際上我們也不認為他是『錯誤』的, 只是強調問題的另外一面。
除了加密信號 (encrypted signals, 註6) 否則沒有信號能不暴露牌情。OE 既
然只有分三個方向, 那麼重覆度 (redundancy) 當然比較高 (註7), 所以如果
ATT 跟 OE 達成防禦上的相同效果, 那莊家靠 OE 信號讀牌的能力也相應的低。
相信從以上的分析大家看得很清楚: ATT 的優點是可以表現出多種牌情; 與默契
良好, 程度相當的搭檔防禦時可以處理很多突發狀況 (有人的牌情不同於預期--
簡單說就是亂叫, 詐叫, 或錯叫!)。這絕非全無代價的, 由於 OE 中可以用不同
的牌張表示相同的訊號 (一種全然不同的『彈性』!), 打 ATT 難免會多透露出
一些線索給莊家, 顯然這不合沈先生的牌風。總之, 願意少讓一些您可以擊垮的
合約 make, 還是想讓莊家打當一些可能打成的合約, 選擇就在您自己了。
我們也必需承認: 我們不願推荐學弟妹們用 OE 的背後另有兩個極主觀的偏見:
a. 墊牌是給同伴看的, 打 ATT 並不表示一個好的防家不會按照情況不同
打出同伴所需要的信號。如果首攻最小牌已經表示這門花色奇數張, 那
這一門上的墊牌可以是花色選擇; 莊家可能將要向桌上ＫＪ打的牌組,
墊出來的就該是張數! 我們相信 (希望) 學弟妹們都能夠多動頭腦, 從
而靈活運用這些, 而如果打 OE 就會少很多這類精緻的守備動作了。
b. 有太多打OE類信號的人在跟牌時可以抽抽捏捏而彌補了任何制度上的缺
陷。或許這是過於犬儒派了, 但我們不願意帶學弟妹向這條路 (註7)。
也就是說: 沈先生提到的完美主義, 使我們選擇了這種路線; 希望我們的說明滿
足沈先生的標準, 也希望對未曾涉獵的讀者們了解橋牌的理論面能有一點幫助。
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(註1) 較少見的訊號中某些原是別的信號之變形, 例如『旋轉墊牌 (revolving
discards)』實際上是花色選擇。有些如分配信號 (DIS) 則另有理論。
(註2) 資訊理論上, 一個能將樣本空間區隔為機率為 P1, P2, … , Pn 的子集
的訊息, 它的資訊含量以『位元 (bit)』計是 (lg 是以２為底的對數):
S = - (P1 lg P1) - (P2 lg P2) - … - (Pn lg Pn)
也就是說: 一筆資料把可能的情況分成兩個機率相等的子集合, 那麼它的
資訊含量就是一個位元。如果兩個子集合的機率比是 1:2, 那麼資訊含量
只有 - lg (1/3) / 3 - 2 lg (2/3) / 3 = lg 3 - 2/3 = 0.918 位元。
如果樣本空間被等分成 N 份, 那資訊含量是 lg N 個位元, 如果不是等
分但是各部份大小相近的時候時, 這個含量會小些, 但是不會差太多。
(註3) 理論上如果您在打方塊的時候墊牌, 而剩下三門都拿的是10５２的話, 您
可以表示九種情形: 墊黑桃５是表示Ｓ>Ｈ=Ｃ; 紅心10表示Ｓ>Ｃ>Ｈ; 梅
花２表示Ｈ>Ｓ>Ｃ等等。但實際上, 不要說您不可能拿到這麼恰到好處的
號碼, 就算真的拿到同伴也不敢相信是這種狀況! 沒有打出某個信號,
並不附帶應有的反向推論, 而這造成實際能用的 resolution 要低得多。
ATT 的使用者會犯類似的一個典型錯誤: 首攻者的同伴希望表達『有點歡
迎, 又不太歡迎; 有點不歡迎, 又不是太不歡迎!』而第一墩從 7654 中
跟５! 這是數年前有幸同桌吃飯時, 聽沈大國手解釋他打信號的重要概念
之一:『要跟大就出盡可能大; 要小就出最小!』時用的一則錯誤示範: 96
年 Olympiad 準決賽中, 他的同伴 -- 當然也是身經百戰的大國手 -- 錯
誤地跟了這個模糊不清的『訊號』(是的, 模糊不清! 同伴又不知道您到
底是什麼號碼, 連是不是最大最小都可能要猜, 怎麼可能讀出某一張號碼
是您手上四張中第二小的?) 後來防禦就因此出了狀況讓合約成功。當時
沈先生還諄諄告誡大家:『信號不打則已, 要就要打得清楚明白!』
(註4) 設計強派司制的波蘭人 Lukacz Slawinski 在防禦信號上也是有名的理論
家; 向以防禦犀利出名的波蘭隊那些與美國與西歐大相逕庭的信號 -- 例
如『兩小引小』-- 主要出自他的手筆, 他還有一本專書探討信號的設計。
當年他因稱霸世界的意大利隊使用 OE 而把這類信號專門提出來討論。他
也曾提到: 要用設定好的子集合來區隔信號, 那應設定２５８歡迎本門,
３６９和４７10歡迎高/低花色 (據我所知台灣的確有人用類似的系統)。
順便一提, Slawinski 的結論是意大利藍隊使用 OE 是賺的, 但不是 OE
比 ATT 精確, 而是當時用 ATT 的人絕少-- 可能根本沒有-- 約這麼細!
換句話說, OE 對當時的藍隊而言是既不易誤會, 而且比別人詳盡的約定,
後來隨對手的信號更精密, 他們就漸漸的趨向 ATT 類 (雙向) 的信號。
(註5) 根據之前的攻守, 可能需要持續攻擊黑桃。我們先假設不論靠著第一墩或
其後 (花色選擇或 Smith Echo) 的訊號或是推理, 已知不是需要吃黑桃!
(註6) 加密信號是利用只有防家有擁有的資訊當鑰匙 (key) 改變做信號的方式。
例如, 莊家在某門已經確知為缺門, 那麼可以設定當防家在這一門, 其小
牌組合的排名是奇數時打反訊號, 反之則打正訊號。在這個用法中, 假設
東西家全部的小牌是 245789 而西家持 84, 那麼西家的 ranking 是第八
(98-97-95-94-92-87-85-84) 高, 所以打反訊號; 而東家的 9752 排名第
29高, 所以東家打正訊號! 在某些沒品的橋牌政客運作下, 這種明顯優越
的用法是被禁止的, 但是就算沒有被禁止, 也不見得有這麼剛好的 key。
(註7) OE 也可能隨機的打不出信號, 所以可靠度 (robustness) 未必比 ATT 高。
(註8) 我們必須趕緊聲明, 絕無對沈大國手任何不敬之意, 因為同多數世界級的
高手相同, 沈先生有他自己對橋牌的矜持。他在橋桌上的橋藝道德在台灣
甚至東南亞都絕對是前幾名, 主打和防禦的神技也和其牌品同樣值得學習
-- 不論他用什麼樣的防禦信號, 我們大概都不敢跟他賭 Chicago。
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